Espace vectoriel, sur le corps ℂ des complexes, dans lequel intervient la métrique hermitienne.

Produit scalaire hermitien

Le produit scalaire hermitien de deux vecteurs et d’un espace vectoriel E_n de dimension n sur le corps ℂ des complexes est le scalaire de ℂ, noté tel que :
1^o  la barre indiquant le conjugué ;
2^o 
avec λ et μ ∈ ℂ et et
3^o  noté est un nombre positif pour tout
si et seulement si

Propriétés du produit scalaire hermitien

1^o Il n’est pas commutatif, car, en général,

2^o Si

d’après le deuxième axiome. D’autre part,

d’où
il en résulte que, si λ et μ ∈ ℂ,

3^o Le deuxième axiome traduit la distributivité à gauche. De plus,

ce qui indique la distributivité à droite ; d’où la distributivité. On peut généraliser :

si λ_i et μ_k ∈ ℂ, et pour i = 1,2 ..., p ; et k = 1,2,..., q.

Expression analytique du produit hermitien

Les deux vecteurs et étant rapportés à la base rapportés à la base de l’espace E_n, en appliquant la distributivité généralisée, on obtient :

Le produit scalaire hermitien est donc exprimé en fonction des composantes des vecteurs et et des quantités Mais il ne faut pas en conclure que dépend de la base choisie ; est un scalaire intrinsèquement lié aux deux vecteurs et  ; est invariant dans tout changement de base.

Norme hermitienne d’un vecteur ; base orthonormée

On appelle norme de noté le nombre positif

Si est dit « norme » ou « unitaire ». Pour tout vecteur il existe un vecteur normé, colinéaire à et de même sens.

Deux vecteurs et de E_n sont orthogonaux si

Un ensemble de vecteurs est dit « orthonormé » s’il est formé de vecteurs normés deux à deux orthogonaux. Si un tel ensemble forme une base, c’est une base orthonormée.

Si la base est orthonormée et seulement dans ce cas, pour Il en résulte que

L’expression trouvée satisfait aux trois axiomes du produit scalaire hermitien.

Tout espace hermitien possède au moins une base orthonormée. On peut alors trouver d’autres bases orthonormées à l’aide de matrices de changement de base particulières. En effet, soit et deux vecteurs de E_n, de matrices

À une matrice de passage, les transformés de et de . La nouvelle base est orthonormée si et seulement si

u^t désignant la transposée de u.

Mais u′ = Au, d’où u′^t = u^t A^t et
l’égalité
devient donc :
ou
d’où la condition nécessaire et suffisante

• Matrice unitaire. C’est une matrice carrée telle que Une matrice unitaire conserve la norme puisqu’elle conserve le produit scalaire, donc, en particulier, la carré scalaire,

Une matrice unitaire est régulière (son déterminant est différent de zéro) et par suite inversible ; l’inverse de la matrice A est A^t = A^–1.

Si deux matrices A₁ et A₂ sont unitaires, il en est de même de la matrice A₁ A₂.

Si une matrice A est unitaire, la matrice A^–1 = A^t l’est aussi ; comme I est unitaire, l’ensemble des matrices unitaires d’ordre n est un groupe multiplicatif.

• Matrice hermitienne. C’est une matrice égale à son adjointe. La matrice adjointe, notée A⁺, d’une matrice donnée A s’obtient en transposant A et en remplaçant chaque élément de A^t par son conjugué (les deux opérations commutent).

La matrice H est hermitienne si et seulement si
H = H⁺ = H^t.