Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
G

groupe (suite)

Groupe des substitutions d’un ensemble à n éléments

Une permutation des n éléments d’un ensemble est une disposition quelconque ordonnée de ces n éléments. Une substitution est la bijection qui fait passer d’une permutation à une autre.

Exemple. E = {1, 2, 3, 4} ; une substitution est, par exemple,

L’ensemble des substitutions d’un ensemble de cardinal n forme un groupe pour la composition des applications. C’est le groupe symétrique Sn, dont le cardinal est n!

On appelle transposition toute substitution qui échange deux éléments et laisse les autres invariants. Toute substitution se décompose en produit de transpositions ; si le nombre de ces transpositions est pair, la substitution est dite paire ; sinon, la substitution est impaire.

Les substitutions paires d’un ensemble E de cardinal n forment un groupe, le groupe alterné An, dont le cardinal est car dans Sn il y a autant de substitutions paires que de substitutions impaires ; An est un sous-groupe distingué de Sn.

E. S.


Quelques grands noms de la théorie des groupes


Elie Cartan,

mathématicien français (Dolomieu, Isère, 1869 - Paris 1951). Professeur de géométrie supérieure à la Sorbonne, il consacre la plupart de ses travaux à la théorie des groupes, prolongeant et approfondissant dans ce domaine l’œuvre de Sophus Lie. Mais son apport personnel a été considérable et a parfois devancé certaines conceptions d’Einstein. (Acad. des sc., 1931.)


Jules Drach,

mathématicien français (Sainte-Marie-aux-Mines 1871 - Cavalaire-sur-Mer 1949). Dès 1893, il montre que les recherches de Sophus Lie sur l’utilisation de la notion de groupe dans l’étude des équations différentielles peuvent conduire à une vraie généralisation des méthodes de Galois*. Cette généralisation est apportée par sa théorie de l’Intégration logique (1898), généralisation qu’il emploie à des questions variées de géométrie et de mécanique. (Acad. des sc., 1929.)


Felix Klein,

mathématicien allemand (Düsseldorf 1849 - Göttingen 1925). Inscrit à l’université de Bonn en 1865, il devient assistant de Julius Plücker (1801-1868), qui lui donne le goût de la géométrie analytique et dont il publie la seconde partie de la Nouvelle Géométrie de l’espace. Il poursuit ses études à Berlin, à Paris, puis à Göttingen. Il subit à Paris, avec son ami Sophus Lie, l’influence de Camille Jordan (1838-1922) et à Göttingen celle de Rudolf Clebsch (1833-1872). Nommé en 1872, à vingt-trois ans, professeur à Erlangen, il publie dès son arrivée le Programme d’Erlangen, où il montre le rôle primordial de la notion de groupe en géométrie. Ses leçons sur l’icosaèdre (1884) illustrent l’importance de la même notion en algèbre. Ses recherches d’analyse s’appuient sur le même concept. Elles portent en particulier sur les fonctions automorphes, fonctions de la variable complexe admettant un groupe de transformations homographiques. Dans ce domaine, Klein se rencontre avec Lazarus Fuchs (1833-1902) et Henri Poincaré*, qui appellera en son honneur certaines fonctions automorphes fonctions kleinéennes. Mais, à trente-trois ans, sa santé l’oblige à abandonner la recherche. Il se consacre alors à son enseignement, qui eut une grande influence. On lui doit une belle histoire des mathématiques au xixe s., Gesammelte mathematische Abhandlungen.


Sophus Lie,

mathématicien norvégien (Nordfjordejdet, Norvège, 1842 - Christiania 1899). Professeur aux universités de Christiania (1872-1886) et de Leipzig (1886-1898), ami de Felix Klein, de Camille Jordan et de Gaston Darboux, il a fait de la notion de groupe un outil puissant de la géométrie et de l’analyse.


Ernest Vessiot,

mathématicien français (Marseille 1865 - La Bauche, Savoie, 1952). Ses travaux, comparables à ceux de Drach, qu’ils précisent, sont surtout relatifs à l’application de la notion de groupe à l’intégration des équations différentielles et aux équations aux dérivées partielles. (Acad. des sc., 1948).

J. I.

➙ Anneau / / Combinatoire (analyse) / Matrice / / / Substitution / .

 G. Choquet, Algèbre des ensembles, algèbre (C. D. U., 1956). / P. Dubreil et M. L. Dubreil-Jacotin, Leçons d’algèbre moderne (Dunod, 1961 ; 2e éd., 1964). / P. Dubreil, Algèbre, t. I : Équivalences, opérations, groupes, anneaux et corps (Gauthier-Villars, 1963).

groupe (effet de)

Ensemble de modifications biologiques profondes chez un animal, résultant de la présence d’un autre animal de la même espèce, qui est la source de stimulations sensorielles pour le précédent.



Historique

Le premier phénomène de groupe bien caractérisé fut la découverte par B. P. Uvarov en 1921 du polymorphisme des Criquets migrateurs. Lors d’une révision du genre Locusta (Orthoptères), Uvarov s’aperçut que deux Insectes décrits comme distincts n’étaient en réalité que deux formes de la même espèce, l’une vivant à l’état très dispersé, l’autre au sein d’une population dense. Bien établi, le phénomène donna naissance à la théorie dite « des phases », d’après laquelle certains animaux existent réversiblement sous formes différentes selon qu’ils vivent solitaires ou bien au sein d’une bande migratrice qui pullule (effect of crowding) dans une zone d’invasion. Non seulement la couleur, la morphologie, les proportions du corps, la physiologie, la reproduction, mais aussi le comportement sont modifiés. Membre d’une bande grégaire, le Criquet est attiré par son congénère ; le solitaire maintient au contraire son isolement. La transformation s’est réalisée progressivement, par rapprochement fortuit d’abord, puis par modification du comportement et des autres caractères. Particulièrement développée par l’école anglaise, cette théorie stimula plus de cinquante années de recherches, apportant une aide certaine à l’organisation de la lutte contre les Criquets dévastateurs dans le monde.