Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
G

géométrie (suite)

Les espaces de Riemann

En 1854, Bernhard Riemann* (1826-1866) généralise ces conceptions à des espaces de dimension quelconque. Gauss lui-même lui avait conseillé ce sujet pour sa thèse d’habilitation. Le mémoire Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen (1854) n’est cependant édité qu’en 1867, par les soins de Richard Dedekind* (1831-1916). Les espaces de Riemann à courbure variable comprennent comme cas particuliers les espaces euclidiens, de dimension quelconque, mais de courbure nulle, les espaces hyperboliques de Lobatchevski, de courbure négative constante, et les espaces elliptiques, de courbure constante positive. Riemann en signale d’un mot l’existence, ce qui a fait donner parfois le nom de géométrie de Riemann à la géométrie elliptique élémentaire.


La relativité

C’est surtout depuis l’apparition, vers 1916, de la théorie de la relativité générale d’Albert Einstein* (1879-1955) que les espaces de Riemann à courbure variable ont attiré l’attention des milieux philosophiques, des physiciens et des mathématiciens.

L’espace quadridimensionnel de la relativité restreinte (1905), ou espace de Hermann Minkowski (1864-1909), n’est qu’une extension d’un espace euclidien. La seule différence est que sa métrique, au lieu de dépendre de la forme quadratique définie
x2 + y2 + z2,
dépend de la forme
x2 + y2 + z2 – t2.
La relativité générale a au contraire besoin d’un espace-temps à courbure variable, heureusement déjà partiellement étudié par les successeurs de Riemann. Les nouveaux espaces sortent du cadre imposé aux géométries par le programme d’Erlangen. Les espaces de Hermann Weyl (1885-1955) ou d’Arthur Stanley Eddington (1882-1944) échappent eux aussi à ce cadre.

Les espaces d’Elie Cartan (1869-1951) en sont une généralisation, mais à laquelle il était impossible de parvenir en suivant les idées directrices des trois auteurs. C’est sa conception de la structure des groupes continus qui a guidé Elie Cartan et lui a permis de faire jouer à la notion de groupe un rôle fondamental dans des études d’où elle semblait exclue.


Dialectique de l’histoire

Née de besoins techniques immédiats, passée par des stades de plus en plus abstraits et paraissant parfois fort détachée de la réalité, l’étude des espaces est redevenue une science physique. Elle s’est cependant enrichie de nombreux apports de la pensée mathématique, à laquelle elle n’a jamais manqué d’apporter de multiples et profonds sujets d’étude.

J. I.

 H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (Copenhague, 1886 ; trad. fr. Histoire des mathématiques dans l’Antiquité et le Moyen Âge, Gauthier-Villars, 1902). / F. Engel et P. G. Stäckel, Die Theorie der Parallellinien, von Euclid bis auf Gauss (Leipzig, 1895) ; Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie (Leipzig, 1898-1913 ; 2 vol.). / F. J. Oberrauch, Geschichte der darstellenden und projektiven Geometrie (Brünn, 1897). / R. Bonola, La Geometria noneuclidea (Bologne, 1906). / M. Simon, Über die Entwicklung der Elementar Geometrie im XIX. Jahrhundert (Leipzig, 1906). / D. M. Sommerville, Bibliography of Non-Euclidean Geometry (Londres, 1911). / G. Loria, Curve sghembe (Bologne, 1925 ; 2 vol.) ; Curve piane speciali (Milan, 1930 ; 2 vol.) ; Il passato e il presente delle principali teorie geometriche (Padoue, 1931). / M. Pasch et M. Dehn, Vorlesungen über neuere Geometrie (Berlin, 1926). / Pappus d’Alexandrie, la Collection mathématique (Desclée De Brouwer, 1933 ; 2 vol.). / F. Amodeo, Origine e sviluppo della geometria proiettiva (Naples, 1939) ; Sintesi storico-critica della geometria della curve algebriche (Naples, 1945). / J. L. Coolidge, A History of Geometrical Methods (Oxford, 1940) ; A History of the Conic Sections and Quadric Surfaces (Oxford, 1945). / Proclus de Lycie, les Commentaires sur le premier livre des Éléments d’Euclide (Desclée De Brouwer, 1948). / R. Taton, l’Œuvre scientifique de Monge (P. U. F., 1953). / M. Jammer, Concepts of Space (Cambridge, Mass., 1954). / C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956). / Théodose de Tripoli, les Sphériques (Blanchard, 1959). / Archimède, Œuvres complètes (Blanchard, 1961 ; 2 vol.). / H. Brocard et T. Lemoyne, Courbes géométriques remarquables (courbes spéciales) planes et gauches (Blanchard, 1967-1970 ; 3 vol.). / D. Hilbert, les Fondements de la géométrie (Éd. française critique, 1971). / R. Taton et J. Itard, Histoire de la géométrie (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1973).


Quelques grands noms de la géométrie


Apollonios de Perga,

mathématicien et astronome grec (Perga v. 262 av. J.-C. - † v. 180). Il vécut à Alexandrie et à Perga. En astronomie, on lui doit la théorie des épicycles et des excentriques, qui régnera jusqu’à la révolution réalisée au xviie s. par Kepler*. Son œuvre principale est en géométrie son Traité des coniques, en huit livres, dont les quatre premiers sont conservés dans le texte grec, et les trois suivants dans une traduction arabe. Le huitième est perdu. Pour Apollonios, les coniques sont les sections planes d’un cône droit ou oblique à base circulaire. C’est à lui que sont dus les noms actuels d’ellipse, d’hyperbole et de parabole. Le point le plus élevé de ses recherches est son étude des normales aux coniques, qui figure au livre V du traité. Le « Grand Géomètre » a d’autre part publié plusieurs ouvrages, surtout connus par les analyses qu’en a données Pappus d’Alexandrie (ive s. apr. J.-C.). Plus élémentaires que le Traité des coniques, ils ont eu, comme lui, une grande influence sur les mathématiciens occidentaux aux xvie et xviie s.


Archimède.

V. l’article.


Giusto Bellavitis,

mathématicien italien (Bassano, près de Vicence, 1803 - Tezze, près de Vicence, 1880). À partir de 1832, il fonde la théorie des équipollences, dont il donne en 1854 une exposition détaillée. Par une heureuse application de l’algorithme des nombres complexes, la méthode des équipollences fournit la solution la plus simple et la plus élégante de certaines classes de problèmes de géométrie plane. Elle est devenue classique de nos jours dans l’enseignement. C’est à Bellavitis que l’on doit l’acception géométrique actuelle des mots équipollent, équipollence. On lui attribue aussi la découverte de la transformation par inversion (1836), étudiée cependant déjà, en 1824, mais non divulguée, par Jakob Steiner.


Eugenio Beltrami,