Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
G

géométrie (suite)

Le xviiie s.

Les idées de Desargues sont oubliées pendant plus d’un siècle, mais celles de Descartes sont rapidement exploitées par les plus grands mathématiciens et plus particulièrement par Isaac Newton*, qui donnera une classification des cubiques. Alexis Clairaut (1713-1765) étudie des courbes gauches dès 1729, et Gabriel Cramer (1704-1752) donne en 1750 une Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Dans son Introduction à l’analyse infinitésimale (1748), Leonhard Euler* (1707-1783) discute pour la première fois l’équation à trois variables qui permet l’étude et la classification des surfaces du second ordre, ou quadriques.


Monge

C’est avec Clairaut et Euler qu’apparaissent d’ailleurs les premières recherches de géométrie infinitésimale des surfaces. Mais, de tous les mathématiciens de la fin du xviiie s., celui dont les contributions à la géométrie seront les plus remarquables est sans conteste Gaspard Monge* (1746-1818). En systématisant et en refondant les méthodes de dessin architectural, il crée une discipline nouvelle, la géométrie descriptive. Cette discipline ranime par son développement la foi en les études de géométrie pure, presque éteinte devant les succès de la géométrie cartésienne et de l’analyse infinitésimale. Le magnifique épanouissement de la géométrie, singulièrement de la géométrie projective, au cours du xixe s., est issu de ce courant. D’autre part, la géométrie cartésienne, telle que la concevait encore Euler, exclut presque entièrement les droites et les plans. En montrant la nécessité de rendre à ces éléments le rôle essentiel qui devait être le leur, Monge, suivi de son disciple Sylvestre François Lacroix (1765-1843), jette les bases de la géométrie analytique moderne.

Avec Monge encore, la géométrie infinitésimale de l’espace se développe rapidement, et l’étude des courbes et des surfaces se constitue en un corps de doctrine que ses travaux et ceux de ses élèves enrichissent rapidement.


La géométrie synthétique

Jean Victor Poncelet (1788-1867) peut être considéré comme le créateur de la nouvelle géométrie projective, entrevue déjà par Desargues au xviie s. Comme celui-ci, il introduit les points à l’infini, ces points appartenant à un même plan, le plan de l’infini : « Tous les points à l’infini de l’espace peuvent être censés appartenir à un seul et même plan, nécessairement indéterminé de situation. » Alors que Charles Julien Brianchon (1783-1864) utilise la théorie des pôles et polaires réciproques relativement à une conique pour passer du théorème de Pascal sur les hexagones inscrits à un théorème sur les hexagones circonscrits, Poncelet fait jouer à la même théorie un rôle fondamental. D’autre part, son principe de continuité, s’il ne repose que sur une forte induction, se révèle un puissant outil heuristique.

Michel Chasles (1793-1880) systématise davantage que Poncelet la géométrie projective, mais l’un et l’autre la fondent sur la géométrie métrique euclidienne. Il en est de même de Jacob Steiner (1796-1863). Aucun de ces chercheurs ne peut être considéré comme disciple des autres, mais ils appartiennent à une même école, et leurs travaux ont de nombreuses analogies.


La nouvelle géométrie analytique

Cependant, l’école allemande se libère rapidement de l’école française, avec Steiner, avec August Ferdinand Möbius (1790-1868) et avec Julius Plücker (1801-1868). Ce dernier permet à la géométrie analytique de reconquérir le terrain que les disciples de Monge lui avaient fait perdre au profit de la nouvelle géométrie synthétique, celle de Poncelet et de Chasles.


Apparition d’une axiomatique

Pour tous ces savants, la géométrie projective reste tributaire de la géométrie euclidienne, dont elle n’est qu’une extension. Karl G. C. von Staudt (1798-1867) tente au contraire une émancipation. Dans Die Geometrie der Lage (1847), il veut fonder toute la géométrie projective sur les seuls axiomes d’intersection, sans aucun recours à la mesure. Sa figure fondamentale est un quadrilatère complet avec ses diagonales. Elle lui permet de définir la division harmonique et d’en montrer la projectivité. Il s’efforce de définir d’une façon générale quelles sont les propriétés projectives des figures. Entre 1870 et 1874, Felix Klein (1849-1925) montre que la tentative ne peut réussir qu’après introduction d’un postulat de continuité. Il établit d’ailleurs tant l’indépendance de la géométrie projective par rapport au postulat des parallèles que l’indémontrabilité des axiomes dits « de Desargues » (triangles homologiques) et « de Pappus » (hexagone de Pascal inscrit dans une conique dégénérée en deux droites). Ces axiomes sont à la base de la géométrie projective. En 1856, 1857 et 1860, von Staudt apporte des compléments à son premier travail. Alors que Poncelet, par son principe de continuité, introduisait en géométrie d’une façon implicite des éléments imaginaires, il les introduit pour sa part d’une façon rigoureuse, mais forcément assez artificielle.


Les géométries non euclidiennes

Déjà, beaucoup plus tôt, la suprématie d’Euclide a été attaquée dans ses principes mêmes. Celui-ci présente le postulat des parallèles sous une forme métrique qui peut paraître étrange, mais qui s’est révélée très féconde par les réflexions qu’elle a imposées, au cours des siècles, aux géomètres : Si deux droites, coupées par une sécante, forment des angles intérieurs d’un même côté dont la somme soit inférieure à deux droits, ces droites se coupent. On tire de ce postulat, presque immédiatement, celui qu’énonce John Playfair (1748-1819) et auquel on donne de nos jours le nom d’axiome des parallèles : Par un point du plan on ne peut mener qu’une parallèle à une droite donnée.

Dès l’Antiquité, on s’efforce de démontrer le postulat euclidien, en s’appuyant sur des propositions paraissant plus intuitives, plus évidentes ou plus naturelles. On utilise le fait que le lieu des points équidistants d’une droite est une droite, ou qu’il existe des rectangles, ou qu’il existe des figures semblables, etc. Celui qui s’acharne le plus à ces tentatives de démonstration est peut-être Adrien Marie Le Gendre (1752-1833). Ses Éléments de géométrie, parus en 1794, contiennent jusqu’à la 12e édition de 1823 ses divers essais de démonstration, qu’il rassemble encore en 1832 en un mémoire lu devant l’Académie des sciences. Au moment de cette lecture, la révolution antieuclidienne est cependant accomplie en Hongrie et en Russie. En 1733, le P. Giovanni Gerolamo Saccheri (1667-1733), dans ses efforts de démonstration du postulat, considère un quadrilatère ayant deux côtés égaux perpendiculaires tous deux à une même base. Les autres angles, égaux entre eux, sont soit aigus, soit droits, soit obtus. Le P. Saccheri montre en particulier que, si l’une des trois hypothèses est vraie pour un seul quadrilatère, elle l’est pour tous. Mais, bien que poussant fort loin ses déductions, il n’a finalement pas abouti, arrêté, comme Le Gendre plus tard, par le préjugé euclidien. Les recherches de Johann Heinrich Lambert (1728-1777) ne sont publiées qu’après sa mort : Theorie der Parallellinien (1786). Analogues à celles du P. Saccheri, mais menées par un savant universel de très grande classe, elles conduisent à ce résultat important : l’hypothèse de l’angle aigu est vraie sur une sphère de rayon imaginaire. Dès 1792, Carl Friedrich Gauss* (1777-1855) entreprend des recherches du même ordre, dont il ne reste que quelques traces dans sa correspondance. En 1819, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1857) lui adresse un essai de géométrie indépendante du postulat des parallèles, essai qu’il approuve. En 1825, le neveu de Schweikart, Franz Adolf Taurinus (1794-1874), publie un travail assez en retrait sur celui de son oncle. Mais l’apparition de la géométrie non euclidienne est due surtout aux travaux indépendants de Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856), dont la première étude sur la question paraît en 1826, et de János Bolyai (1802-1860), dont les premières recherches, publiées en 1832, datent en fait de 1823.

Le succès de la nouvelle géométrie, appelée par Felix Klein géométrie hyperbolique, loin d’être immédiat, n’est acquis auprès du public des mathématiciens d’avant-garde que vers 1860.