Discipline mathématique ayant pour objet l’étude rigoureuse de l’espace et des formes (figures et corps) qu’on y peut imaginer.

Introduction

Le mot géométrie, qui, étymologiquement, signifie « mesure de la Terre », a reçu de très bonne heure une extension beaucoup plus large, et, chez les classiques grecs, il a représenté la presque totalité des mathématiques théoriques. Bien plus tard, Blaise Pascal* dira que « l’objet de la pure géométrie est l’espace ». Il s’agit pour lui, comme pour tous les mathématiciens jusqu’au xix^e s., de l’espace intuitif et physique où se situent tous les phénomènes observables. Aujourd’hui, on ne parle plus de l’espace, mais des espaces, et, si l’on voulait donner une définition à peu près valable des géométries, on dirait : « Une géométrie est l’étude d’un ensemble appelé espace, dont les éléments sont appelés points, cette étude étant surtout consacrée aux endomorphismes de cet ensemble. »

Les origines de la géométrie sont diverses et obscures. Dans l’état actuel des connaissances historiques, on ne trouve rien de précis ni de convaincant sur l’existence d’une vraie géométrie avant l’apparition des grandes civilisations de la vallée du Nil ou de la Mésopotamie.

L’Égypte

Nos connaissances sur la géométrie égyptienne viennent essentiellement du papyrus Rhind, écrit vers 1700 av. J.-C., mais qui est la copie d’un texte plus ancien, et du papyrus de Moscou, contemporain du précédent. Cette géométrie est surtout une métrologie, un arpentage et une stéréométrie. Les distances horizontales sont mesurées au cordeau, et les procédés d’alignement et d’orientation sont assez précis pour que la déviation par rapport au nord vrai des principales pyramides soit toujours inférieure au degré. L’outillage utilisé comporte, en plus du cordeau, des jalons, des fils à plomb, des niveaux et des mires à fente. Le calcul des aires et des volumes utilise des procédés les uns exacts, les autres approchés que l’on retrouvera très longtemps dans la tradition des arpenteurs occidentaux. La notion d’angle ne paraît pas être encore complètement dégagée, mais les scribes savent calculer le fruit, ou talus, des faces d’une pyramide, soit l’inverse de sa pente. Cependant, ce que l’on connaît de la géométrie égyptienne a un caractère élémentaire et pragmatique.

La Mésopotamie

On retrouve chez les Babyloniens des connaissances assez analogues, marquées cependant, en plusieurs domaines, d’un caractère plus spéculatif.

Le théorème dit « de Pythagore » est déjà bien connu vers 1800 av. J.-C., sous un aspect numérique. Une tablette donne quinze triangles rectangles dont les côtés sont mesurés en nombres rationnels. Ce type de triangles jouera plus tard un rôle capital dans les Arithmétiques de Diophante d’Alexandrie (iii^e s. apr. J.-C.). On sait calculer correctement les aires des polygones les plus simples, rectangle, triangle, trapèze. Sans que la relation de similitude soit nettement explicitée, il est connu que deux triangles semblables ont des aires proportionnelles aux carrés des côtés homologues. Ainsi, la géométrie plane des Babyloniens apparaît être d’un niveau élevé. Soutenue par une arithmétique et une algèbre très évoluées, elle se cantonne cependant à l’étude de figures simples, polygones et cercle, et ne traite guère que de problèmes d’arpentage ou de géodésie (au sens grec du terme), c’est-à-dire de partage d’aires. La stéréométrie babylonienne comporte, quant à elle, moins de résultats remarquables que la stéréométrie égyptienne.

L’Inde

La géométrie indienne, beaucoup plus tardive — elle ne remonte guère au-delà du v^e s. avant notre ère —, n’apporte pas d’éléments vraiment nouveaux. C’est encore une science d’arpenteurs, où l’on trouve la connaissance du théorème de Pythagore et des ébauches de démonstration.

La Grèce

La tradition veut que la science grecque naisse vers le vi^e s. av. J.-C. dans les colonies ioniennes, et que s’y illustre alors Thalès de Milet (vii^e s.-vi^e s.). Dans la génération suivante figure Pythagore* (vi^e s. av. J.-C.), puis l’école des pythagoriciens de la Grande Grèce.

Il est certain que les connaissances de géométrie pratique acquises par les techniciens des vallées du Nil, du Tigre et de l’Euphrate ont été connues des techniciens grecs et qu’ils les ont assimilées. Mais sur ce fonds traditionnel très stable, transmis, en particulier, plus tard par Héron d’Alexandrie (i^er s. apr. J.-C.), vient se greffer une véritable science abstraite, la géométrie telle que nous l’ont transmise les Grecs. Elle éprouve d’abord le besoin de définir les termes qu’elle emploie, besoin qui ne paraît pas avoir été ressenti par les Égyptiens ou les Babyloniens.

Les notions abstraites les plus importantes apparaissent ou se dégagent, comme celles de point, de ligne, de surface, ainsi que le concept d’angle, que l’on pourrait attribuer à Thalès.

L’effort de systématisation et d’abstraction, qu’il faut rapprocher de la constitution de la logique formelle chez Aristote*, se complète par l’énonciation d’axiomes et de postulats. De véritables démonstrations se fondent alors sur ces propositions fondamentales.