Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
F

fonctions quadrivalentes (suite)

Chlorure de cyanogène Cl—C≡N

Préparé par action du chlore sur le cyanure de potassium, c’est un liquide très volatil, toxique et lacrymogène.

Il se polymérise facilement en chlorure de cyanuryle, hydrolysable en acide cyanurique :

Il engendre avec le benzène le benzonitrile ; avec les organomagnésiens, il conduit à des nitriles, puis à des cétones :

C. P.

fonction réelle d’une ou plusieurs variables réelles

Application d’une partie de ℝ ou de ℝn dans ℝ.



Fonction d’une variable réelle

C’est l’application d’une partie de ℝ dans ℝ.

Exemples. L’application définit une application de l’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 1 dans l’ensemble des réels positifs ou nuls. (La notation est celle des applications.)

• L’application définit une application de l’ensemble des réels dans l’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 1.

• L’application définit une application de l’ensemble des réels dans l’ensemble des réels. Pour chaque fonction il est essentiel, comme dans les exemples précédents, de définir toutes les valeurs de la variable — notée ici x — pour lesquelles l’application considérée permet le calcul de la valeur y de la fonction. L’ensemble de ces valeurs de x est le domaine de définition de la fonction. Ainsi : pour f, pour g, D = ℝ ; pour h, D = ℝ. Dans chacun des trois cas, on a pu alors déterminer l’ensemble des valeurs prises par y. On dira par exemple de la fonction g qu’elle est définie sur ℝ et à valeurs dans l’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 1.


Limite d’une fonction. Fonction continue

Intuitivement, on dira qu’une variable x tend vers la valeur a si x prend des valeurs de plus en plus voisines de a. Si a appartient au domaine de définition D d’une fonction f, on dira que f(x) tend vers la limite l si f(x) prend des valeurs voisines de l quand x tend vers a en restant sur D. De façon plus précise, on dit que f(x) tend vers l quand x tend vers a sur D si, pour toute quantité positive є, arbitrairement petite, on peut trouver une quantité α (dépendant de є, de f et de a) telle que | x – a | < α entraîne | f(x) – l | < є ; on écrit f(x) → l quand x → a, si ∀ є > 0, ∃ α > 0 tel que
x – a | < α ⇒ | f(x) – l | < є.

Exemple. le domaine de définition est D = ℝ – {1} ; pour x ≠ 1, Soit g la fonction définie par pour x ≠ 1, mais aussi voisin de 1 que l’on veut, f = g ; quand x → 1, x ≠ 1, par suite, Ainsi, Il est essentiel de remarquer que x ne prend pas la valeur 1, ce qui permet de conclure que En général, quand on écrit x → a, même si on ne le précise pas, on entend x ≠ a, à moins qu’il ne s’agisse d’une fonction continue.

• Fonction continue en un point. La fonction est continue au point a de son domaine D si, quand x → a, f(x) → l = f(a).

Exemple. La fonction pour x ≠ 1 et est continue au point x = 1. Elle est d’ailleurs continue en tout point de ℝ, puisque, pour x ≠ 1, On dit que f est continue sur ℝ.

• Propriétés des fonctions continues sur un segment. Un intervalle fermé [ab], ou segment, est l’ensemble des nombres réels x tels que
1o Si f est continue sur [ab], pour tout є > 0 il existe un η > 0 tel que | f(x) – f(x′) | < є dès que | x – x′ | < η. On dit que f est uniformément continue sur [ab]. La continuité est uniforme en ce sens que η ne dépend que de є et non du couple (xx′).
2o Une fonction f continue sur [ab] est bornée sur [ab] : il existe au moins un couple de nombres (m1, M1) tels que, pour tout x, m1 < f(x) < M1. Les nombres tels que m1 et M1 sont respectivement des minorants et des majorants de f(x) sur [ab]. Parmi les minorants il y en a un, m, plus grand que tous les autres, et parmi les majorants il y en a un, M, plus petit que tous les autres ; m et M sont respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de f(x) sur [ab].
3o Si f est continue sur [ab], elle y atteint ses bornes m et M.
4o Si f est continue sur [ab], elle prend toute valeur comprise entrera f(a) et f(b) et toute valeur comprise entre m et M. On peut démontrer le premier de ces théorèmes comme conséquence du théorème de Borel-Lebesgue (propriétés de ℝ). L’hypothèse de fermeture de l’intervalle [ab] est essentielle. Ainsi, la fonction est définie et continue pour tout x de l’intervalle semi-ouvert ]0, 1], mais n’est pas uniformément continue ni bornée dans cet intervalle ]0, 1].

Fonction dérivable.
La fonction f est dite dérivable au point x0 de son domaine D si l’expression

tend vers une limite finie l quand x tend vers x0 de façon quelconque sur D. On note Le nombre f ′(x0) est le nombre dérivé de la fonction f au point x0 ou simplement la dérivée de f en x0.

Exemple.
D = ℝ ; soit x0 ∈ ℝ ;

quand qui est la dérivée de f au point x0, et cela quel que soit x0. La fonction est dérivable en tout point de ℝ, et l’on définit sa fonction dérivée par

Fonction dérivée f ′ d’une fonction f. Si f est définie et dérivable en tout point d’un domaine D, sa fonction dérivée f ′ associe à tout x de D le nombre dérivé f ′(x) de f(x). La dérivation, quand elle est possible, permet donc de définir de nouvelles fonctions.

Dérivation. Une fonction dérivable est continue. La réciproque est fausse, car il existe des fonctions continues en un point et non dérivables en ce point. Si u(x) et v(x) sont deux fonctions définies et dérivables sur un domaine D, on a les règles suivantes de dérivation :

Si (théorème de dérivation des fonctions composées). Si x u(x) = y est continue monotone sur [ab], on peut définir une fonction inverse, dont la dérivée est