espace euclidien de dimension trois (suite)
Expression analytique du produit vectoriel. Le produit vectoriel des deux vecteurs, en repère orthonormé
que l’on peut encore écrire formellement sous forme de déterminant
Les produits scalaire et vectoriel des vecteurs et ayant respectivement pour module V1 V2 cos θ et V1 V2 sin θ, la somme des carrés de ces modules est ce qui donne
Produit mixte
Le produit mixte des trois vecteurs , et pris dans cet ordre, est le produit scalaire de V1 et du produit vectoriel on le note Ce scalaire est égal au volume algébrique du parallélépipède construit à l’aide de trois vecteurs respectivement équipollents à Il est positif si le trièdre O ABC est direct, et négatif dans le cas contraire.
On voit facilement que
et que
Changement de repère
Les trois produits définis ci-dessus sont invariants dans un changement de repère orthonormé, ce qui justifie leur définition.
Dans un changement de repère sans changement d’origine, on définit un nouveau repère OXYZ — l’ancien étant Oxyz — par la donnée des composantes des nouveaux vecteurs de base, par rapport aux anciens au moyen du tableau
Ce tableau donne, en ligne, les composantes de Comme tous les vecteurs de base sont unitaires, on a les relations et six autres analogues, ce qui entraîne que le tableau ci-dessus donne aussi, en colonne, les composantes de sur De plus,
a2 + b2 + c2 = 1 = ... = c2 + c′2 + c″2.
Enfin, comme, dans une base donnée, les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, on a aussi six relations de la forme ab + a′b′ + a″b″ = 0, et le déterminant du tableau des coefficients a, ..., c″ est égal à 1, comme étant égal au produit mixte des vecteurs par exemple. Ce tableau est une matrice orthogonale. Il permet un changement de coordonnées par les formules :
Si l’on change d’origine, il suffit d’ajouter à x, y et z les composantes α, β et γ du vecteur dans l’ancienne base et à X, Y et Z les composantes α′, β′ et γ′ du vecteur dans la nouvelle base.
Matrices orthogonales ; groupe euclidien de l’espace
Les propriétés du tableau des coefficients énoncées ci-dessus (excepté la valeur du déterminant) caractérisent un sous-ensemble de l’ensemble des matrices 3 × 3, qu’on appelle ensemble des matrices orthogonales. Une matrice orthogonale a un déterminant égal à + 1 ou à – 1 ; elle est dite, suivant le cas, droite ou gauche.
Les valeurs propres d’une matrice orthogonale ont toutes pour module l’unité. Si la matrice est droite, ces valeurs propres sont 1, eiθ et e– iθ, θ étant un angle réel.
Si une matrice est orthogonale, son inverse est identique à sa transposée ; cette propriété caractérise les matrices orthogonales.
Dans l’espace euclidien ℝ3, on définit des applications linéaires qui sont données par une matrice permettant de calculer les coordonnées x′, y′ et z′ du point M′ transformé du point M(x, y, z) par l’application considérée :
Pour qu’une transformation linéaire conserve les distances, il faut et il suffit que la matrice associée A soit orthogonale. Si A est une matrice orthogonale droite, la transformation est une rotation autour d’un axe ; tous les points de cet axe sont invariants (valeur propre égale à 1) ; l’angle de la rotation est θ (valeurs propres eiθ et e– iθ). Si A est une matrice orthogonale gauche, la transformation est une symétrie-point ou une symétrie-plan. L’ensemble de ces transformations constitue le groupe euclidien de l’espace.
E. S.
➙ Application / Axiomatique (méthode) / Conique / Déterminant / Ensemble / Forme / Hermitien / Matrice / Norme / Quadratique / Transformation / Vectoriel (espace).
R. Deltheil, Compléments de mathématiques générales (Baillière, 1953-1955 ; 2 vol.). / L. Chambadal et J. L. Ovaert, Cours de mathématiques, t. I (Gauthiers-Villars, 1966 ; nouv. éd., 1969). / G. Cagnac, E. Ramis et J. Commeau, Traité de mathématiques spéciales, t. III : Géométrie (Masson, 1971).