Éd. 1971-1976

espace (perception de l’) (suite)

C’est seulement à partir du neuvième mois que l’enfant recherche l’objet caché et à partir du dix-huitième qu’il est capable d’écarter les obstacles qui se trouvent entre lui et l’objectif. L’enfant montre là qu’il situe convenablement les objets par rapport à lui, alors qu’il est encore incapable de se situer lui-même dans l’espace général. En rampant, puis en marchant, il part à la conquête de l’espace, apprend tous les jours et crée des relations spatiales, des coordinations de plus en plus complexes, puis ces premiers acquis se perfectionneront par l’apprentissage de la métrique.

Comme le montre magistralement J. Piaget, l’espace n’est pas une donnée innée, mais résulte d’une construction, d’une conquête chaque jour nouvelle et jamais terminée, ne pouvant être dissociée du développement de l’intelligence.

J.-P. R.

➙ Enfant / Intelligence / Perception / Piaget (Jean).

J. Piaget et B. Inhelder, la Représentation de l’espace chez l’enfant (P. U. F., 1948). / J. Piaget, la Construction du réel chez l’enfant (Delachaux et Niestlé, 1950) ; les Mécanismes perceptifs (P. U. F., 1961). / R. A. Spitz et W. G. Cobliner, First Year of Life (New York, 1954 ; trad. fr. la Première Année de la vie de l’enfant, P. U. F., 1958). / P. Fraisse et J. Piaget (sous la dir. de), Traité de psychologie expérimentale, t. VI : la Perception (P. U. F., 1963). / P. Kaufmann, l’Expérience émotionnelle de l’espace (Vrin, 1967).

espace euclidien de dimension trois

Ensemble de points constituant l’espace de la géométrie ordinaire, ou géométrie euclidienne.

C’est l’espace dans lequel nous vivons, celui des architectes. On y admet que, dans un plan contenant une droite D et un point M extérieur à D, il existe une droite Δ et une seule ne rencontrant pas D (parallèle à D) ; c’est l’axiome d’Euclide. Il est commode de repérer les points de l’espace par leurs coordonnées, dans un système d’axe fixé.

Espace euclidien ℝ³

Le point o et les axes ox, oy et oz sont fixes ; les vecteurs sont les vecteurs de base ; leur longueur est égale à l’unité

ils sont deux à deux orthogonaux ; le trièdre est direct ; le système d’axes oxyz constitue un repère orthonormé.

À tout point M de l’espace, on associe le triplet x, y, z des mesures algébriques de respectivement sur x, y et z sont les coordonnées de M ; ce sont aussi les composantes du vecteur

À un point M correspond un triplet unique (x, y, z) et réciproquement. L’ensemble des points de l’espace peut donc être identifié à l’ensemble des triplets ordonnés (x, y, z), où x, y et z sont des réels quelconques : x, y et z ∈ ℝ ; d’où la notation ℝ³ pour l’espace euclidien réel de dimension trois. Il résulte de ce repérage que tout problème portant sur des courbes ou des surfaces de ℝ³ se traduira par une ou plusieurs équations : c’est le domaine de la géométrie analytique, qui n’est d’ailleurs pas restreint au cas où l’espace est rapporté à un repère orthonormé.

Produit scalaire

• La projection orthogonale, sur un axe d’un vecteur porté par un axe , a pour mesure algébrique le produit de la mesure algébrique de sur par le cosinus de l’angle :

• Le produit scalaire des vecteurs et , noté est le produit des mesures algébriques de et sur leurs axes par le cosinus de l’angle θ de ces axes :

D’après le théorème précédent, on a aussi

étant la mesure algébrique de la projection de sur l’axe de , et celle de la projection de sur l’axe de .

Propriétés du produit scalaire

• Il est commutatif :

• Il est distributif par rapport à l’addition :

On démontre cette propriété en utilisant le théorème sur la mesure algébrique de la projection orthogonale d’un vecteur.

• Si l’un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul ; si cos θ = 0 et inversement, si et si alors cos θ = 0 ; d’où et les vecteurs et sont orthogonaux ; c’est ainsi que l’on caractérise, analytiquement, l’orthogonalité de deux vecteurs non nuls.

• Si on a les égalités est désigné par ou simplement par V² ; c’est le carré scalaire du vecteur V, qui est d’ailleurs égal au carré du module de . Ainsi, le carré de la distance des deux points A et B est égal au carré scalaire du vecteur

Expression analytique du produit scalaire. Si

Cette expression n’est valable qu’en axes orthonormés. Appliquée au carré scalaire d’un vecteur, elle donne V² = X² + Y² + Z², ce qui fournit la distance de deux points A(x₀, y₀, z₀) et B(x₁, y₁, z₁), car AB a pour composantes x₁ – x₀, y₁ – y₀, z₁ – z₀ :
AB² = (x₁ – x₀)² + (y₁ – y₀)² + (z₁ – z₀)².
On peut alors calculer le cosinus de l’angle de deux vecteurs :

puisqu’on peut supposer que les axes portant et ont le sens de et de , respectivement, ce qui donne

l’orthogonalité de et de se traduira alors par X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ = 0.

Application du produit scalaire. Le produit scalaire permet de trouver des équations de droites et de plans, de calculer des distances, de trouver des équations de cercles et de sphères, en repère orthonormé.

Par exemple, l’équation du plan passant par le point A(x₀, y₀, z₀) et perpendiculaire au vecteur est α(x – x₀) + β(y – y₀) + γ(z – z₀) = 0, car elle exprime une condition nécessaire et suffisante pour que le vecteur soit perpendiculaire au vecteur , M étant un point quelconque de coordonnées x, y et z.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs et est un troisième vecteur, dont le module est égal à V₁ V₂ sin θ avec et qui est perpendiculaire au plan défini par et (si et ne sont pas parallèles) et tel que le trièdre soit direct. On note