électrodynamique (suite)

Le vecteur induction étant un rotationnel, le flux magnétique est conservatif, c’est-à-dire que le flux à travers une surface fermée est nul. Il est équivalent de dire que les flux Φ₁, Φ₂ à travers deux surfaces S₁, S₂ s’appuyant sur un même contour C (fig. 9) sont égaux :
Φ₁ = Φ₂ = Φ_C.
Φ_C est dit « flux enlacé par le contour C ». Il se calcule à l’aide d’une surface quelconque s’appuyant sur le contour C.

Équation de Maxwell-Ampère

Soit un élément dl de conducteur pris autour du point M où le vecteur densité de courant est

et la section s (fig. 10).

L’intensité du courant est I = Js, et le potentiel vecteur en P, dû à l’élément dl, vaut

car et

sont parallèles et de même sens.
s dl = dv,
volume de l’élément conducteur.

est à rapprocher de l’expression du potentiel électrostatique créé par la charge volumique P contenue dans le volume dv (fig. 11) :

En électrostatique, on montre que

ΔV est dit « laplacien de V ».

L’analogie formelle entre et dV permet d’écrire :

Étant donné un système d’axes orthonormés Ox, Oy, Oz et un scalaire m fonction des coordonnées x, y, z d’un point M de l’espace, on appelle grad m (gradient de M) le vecteur de composantes suivantes :

La divergence d’un vecteur (div ), étant un scalaire, peut avoir un gradient.

On établit alors que

Si on considère le potentiel vecteur ,

d’où
Or div  ≡ 0, d’où

Par suite :

comme

C’est l’équation de Maxwell-Ampère. À l’article Maxwell (équation de), on verra que cette équation prend une forme plus générale utilisable lorsque les grandeurs varient dans le temps.

Théorème d’Ampère

Si C est un parcours fermé et S une surface s’appuyant sur C (fig. 12), on montre en mathématiques que

Or, par suite :

Cette dernière intégrale n’est autre que le flux de la densité de courant J à travers S, c’est-à-dire qu’elle est égale au courant total enlacé par le contour C ; d’où le théorème :

La circulation du vecteur le long d’un parcours fermé est égale à la somme algébrique des courants enlacés par ce parcours. Sont comptés positivement les courants tendant à créer un champ H dirigé dans le sens de la circulation, négativement les autres.

Dans l’exemple de la figure 13, la circulation et les courants ayant les sens indiqués,

Loi d’Hopkinson

On appelle ligne de champ une ligne qui, en tout point, admet comme tangente le vecteur induction . L’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur un contour fermé constitue un tube de champ (fig. 14). Les lignes et par suite les tubes de champ se ferment sur eux-mêmes. De plus, le flux magnétique étant conservatif (v. plus haut), le flux à travers une section d’un tube d’induction est indépendant de la section.

Soit un tube d’induction T très étroit enlaçant des courants (fig. 15). D’après le théorème d’Ampère :
Σi étant la somme algébrique des courants.

En outre, est colinéaire à et avec où φ est le flux et s la section droite du tube au point où on considère . Il vient alors

Or, φ est indépendant de s, d’où

On pose
R est dit « réluctance du tube ».

On pose de plus Σi = ℰ : force magnétomotrice enlacée par le tube d’induction. Par suite, ℰ = Rφ : c’est la loi d’Hopkinson.

La loi d’Hopkinson rappelle la loi d’Ohm pour un circuit fermé :
E = rI.
La résistance r du circuit se calculant à partir de la conductibilité σ du circuit électrique comme la réluctance à partir de la perméabilité :

il y a une analogie formelle complète entre un circuit électrique et un tube d’induction au circuit magnétique.

On pourra ainsi appliquer les lois de Kirchhoff aux réseaux magnétiques, comme le montre l’exemple (fig. 16). Équation au nœud A :
Φ₃ = Φ₁ + Φ₂.
Équations aux mailles :
R₃Φ₃ + R₂Φ₂ = n₂I₂ ;
R₃Φ₃ + R₁Φ₁ = n₁I₁.

Les unités

• Weber : unité de flux magnétique. On pourrait définir l’unité de flux à partir de l’expression du travail des forces électromagnétiques
1 weber = 1 joule par ampère.
En fait, le weber (symbole Wb) est défini à partir des phénomènes d’induction* électromagnétique : le weber est le flux d’induction magnétique qui, entouré par un circuit d’une seule spire, y produirait une force électromotrice de 1 volt si on l’amenait à zéro en 1 seconde par décroissance uniforme. Le sous-multiple est le maxwell (Mx) ;
1 weber = 10⁸ maxwells.

• Tesla : unité d’induction. Le tesla (symbole T) est l’intensité d’un champ d’induction uniforme qui crée à travers une surface plane de 1 mètre carré, perpendiculaire au champ, un flux de 1 weber :

Le sous-multiple est le gauss (G) ;

• Ampère-tour : unité de force magnétomotrice. C’est la force magnétomotrice due à un courant de 1 ampère dans un circuit de 1 spire, enlacé par un circuit magnétique.

• Ampère par mètre : unité de module de champ magnétique. Au centre d’un solénoïde très long ayant N spires sur une longueur L et parcouru par un courant I, le champ est

L’unité de champ magnétique, l’ampère par mètre (A/m), est le module du champ au centre d’un solénoïde très long dont la force magnétomotrice est de 1 ampère par mètre.

• Henry inverse : unité de réluctance. Le henry inverse (H^–1) est la réluctance d’un circuit magnétique sans fuite qui, enlaçant une force magnétomotrice de 1 ampère, est traversé par un flux de 1 weber.

C. T.

 V. électromagnétique (force).