Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
D

dynamique (suite)

Théorème des quantités de mouvement

La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse ; on lui attribue la même direction que la vitesse. Si l’on appelle j l’accélération, c’est-à-dire la dérivée géométrique de la vitesse, le vecteur mj est la dérivée géométrique de la quantité de mouvement mv. En projection sur l’axe des x, on a

qui s’écrit

Il s’ensuit qu’en projection sur un axe quelconque la dérivée de la quantité de mouvement est égale à la projection de la force. En intégrant, on trouve

L’accroissement de la quantité de mouvement est égal, en projection, à l’intégrale des impulsions élémentaires.


Théorème du moment cinétique

Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement.

Des deux équations

on tire

qui s’écrit

La quantité entre parenthèses est le moment de la quantité de mouvement par rapport à l’axe des z ; le second membre est le moment de la force par rapport au même axe : la dérivée du moment cinétique par rapport à un axe est égale au moment de la force par rapport à cet axe.

Si l’on multiplie par dt, la différentielle du moment cinétique est égale au moment de l’impulsion élémentaire, et, en intégrant, on obtient

Cette relation fournit une intégrale quand le moment Yx – Xy de la force est une fonction connue du temps.


Théorème de la force vive

G. W. Leibniz (1646-1716) a donné le nom de force vive au produit de la masse par le carré de la vitesse. Cette dénomination est assez malheureuse, car la force vive n’a pas les dimensions d’une force (LMT–2), mais celles d’un travail (L2MT–2). En fait, on donne le nom d’énergie cinétique à la demi-force vive.

Au bout d’un temps quelconque, la demi-variation de la force vive est égale à la variation de la fonction de forces.

Potentiel. La fonction de forces changée de signe porte le nom de potentiel U. L’équation des forces vives s’écrit dès lors :


Dynamique générale ou dynamique des systèmes

La dynamique générale est l’étude du mouvement des systèmes de points matériels soit libres, soit soumis à des liaisons.


Dynamique des systèmes de points libres

Les forces appliquées à un solide sont, d’une part, les forces Fi, ou forces intérieures, qui s’annulent deux à deux (principe de l’action et de la réaction), et, d’autre part, les forces extérieures Fe. La résultante R, ou translation de l’ensemble des forces, se réduit donc à

Pour un point quelconque, on a

Si l’on fait la somme géométrique de toutes les égalités de cette nature et que l’on pose Σ mv = R1, on a, d’après l’équation (1)

Le vecteur R1 est, par définition, la quantité de mouvement du système : la dérivée géométrique de la quantité de mouvement est la résultante de translation des forces extérieures.

En désignant par M la masse totale, par v et j la vitesse et l’accélération du centre de gravité, ou point d’application de la résultante des actions de la pesanteur sur tous les points d’un corps, on peut remplacer dans (2) R1 par MV ; d’où

Le centre de gravité d’un système de masse M se meut comme un point de masse M soumis à la résultante de translation des forces extérieures. C’est le théorème du mouvement du centre de gravité. Par rapport à un point fixe quelconque, la dérivée du moment cinétique d’un système est identique au moment résultant des forces extérieures.

Dans un système composé de masses négligeables ou affecté de mouvements très lents et lentement variables, les forces extérieures peuvent être regardées comme se faisant à chaque instant équilibre. Si la résultante des forces appliquées à un point est F, on a, pour le point

En faisant la somme des équations analogues pour tous les points composant le système et en désignant par 2 T la force vive totale, par le travail élémentaire de l’ensemble, on a

La demi-variation de force vive d’un système est égale, à chaque instant, à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces.

Les théorèmes généraux ci-dessus s’appliquent au mouvement absolu ; mais ils peuvent s’appliquer aussi au mouvement relatif, à condition d’y introduire la force d’inertie d’entraînement et la force centrifuge composée.

La force vive absolue d’un système est égale à la force vive évaluée dans un mouvement relatif, augmentée de la force vive du centre de gravité (théorème de Kœnig) :

Le théorème des forces vives est applicable dans le mouvement relatif considéré, sans tenir compte du déplacement du centre de gravite.

• Expression analytique du théorème des quantités de mouvement pour un système de points libres. Si m, p et q sont les coordonnées du centre de gravité, on a

car on a

• Expression analytique du moment cinétique d’un système de points libres. On a

• Expression analytique du théorème de la force vive d’un système de points libres. On a
dT = Σ (X dx + Y dy + Z dz),
c’est-à-dire que l’accroissement élémentaire de la demi-force vive du système est égal à la somme des travaux élémentaires de toutes les forces.

S’il y a une fonction de forces, on a

L’ensemble des forces admet un potentiel U tel que l’on ait
Σ (X dx + Y dy + Z dz) = – dU ;
d’où dT + dU = 0 ;
ou T + U = constante
la somme de la demi-force vive et du potentiel est constante.

• Équilibre d’un système. Pour qu’un système de points libres soit en équilibre, il faut et il suffit que la résultante des forces appliquées à chacun deux soit nulle. S’il y a une fonction de forces, les conditions d’équilibre sont

pour tous les points du système.

Toutes les dérivées de la fonction F étant nulles, cette fonction F présente un maximum ou un minimum. Lorsque le potentiel est minimal, l’équilibre est stable.