Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
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différentielle (suite)

Applications des différentielles

Le champ d’application des différentielles est l’ensemble du calcul différentiel et intégral : résolutions d’équations différentielles et d’équations aux dérivées partielles ; études de surfaces et de courbes tracées sur ces surfaces ; calculs d’intégrales simples, doubles et triples ; calculs de longueurs d’arcs de courbes, de rayons de courbure et de torsion, d’aires, de volumes, de moments d’inertie, de coordonnées de centres de gravité. Le champ d’application est très vaste.

Exemple de résolution d’une équation aux dérivées partielles. On cherche z = f (xy) telle que

Pour cela, on effectue le changement de variable x = u, y = uv. On a

On reporte ces expressions dans celle de d2z ; en raison de l’invariance de la différentielle, les coefficients de dx2, dxdy et dy2 fournissent

en portant ces expressions dans l’équation proposée, on trouve

dont l’intégration donne z = g (v) + uh (v), g et h étant des fonctions arbitraires. La solution est

E. S.

➙ Combinatoire (analyse) / Intégrale définie.

 A. Hocquenghem et P. Jaffard, Mathématiques, t. I, Éléments de calcul différentiel et intégral (Masson, 1962). / A. Doneddu, Mathématiques supérieures et spéciales, t. II, Analyse et géométrie différentielle (Dunod, 1973).

diffraction

Phénomène par suite duquel la propagation de la lumière n’est pas rectiligne.



Introduction

Le phénomène de diffraction de la lumière fut découvert par F. M. Grimaldi, qui observa qu’un pinceau étroit de rayons lumineux, après avoir traversé un diaphragme circulaire, déterminait sur un écran d’observation non pas une tache lumineuse uniforme limitée par le contour du diaphragme, mais une série d’anneaux lumineux concentriques (fig. 1). Ce phénomène ne put être interprété à cette date, car la théorie corpusculaire de l’émission lumineuse avancée par Newton*, seule théorie admise alors, ne permet pas d’expliquer cette propagation non rectiligne des « particules » de lumière, ni l’existence de zones d’ombre dans la tache lumineuse sur l’écran. Il fallut attendre l’année 1676, date à laquelle Olaüs Römer (1644-1710), en observant les éclipses des satellites de Jupiter, put montrer que la lumière se propageait à une vitesse certes très grande, mais finie. Cette découverte conduisit Huygens* à émettre l’idée que la lumière était formée d’ondes qui se propageaient à la vitesse déterminée par Römer. Il donna un support à ces ondes, l’éther, et put à partir de cette idée retrouver certaines lois, notamment les lois de la réflexion et de la réfraction.

Cette théorie des ondulations permit à Augustin Fresnel*, vers 1815, de retrouver le principe des interférences et, quelques années plus tard, d’expliquer les phénomènes de diffraction observés dans deux expériences fondamentales :
— l’observation d’une source ponctuelle à travers une fente très fine montre un étalement de cette source perpendiculairement à la grande dimension de cette fente, avec alternativement des régions sombres et des régions lumineuses (fig. 2) ;
— de même, en interposant entre une source ponctuelle et un écran d’observation un disque opaque, on observe dans l’ombre géométrique du disque des zones alternativement sombres et lumineuses (fig. 3).

Dans cette dernière expérience, la présence de lumière se conçoit bien si l’on considère que chaque point de l’espace recevant de la lumière se comporte à son tour comme une source émettant une onde qui va se propager dans tout l’espace et notamment dans l’ombre géométrique du disque.

Ces considérations expérimentales vont nous permettre d’étudier de façon quantitative ce phénomène.

Sir George Biddell Airy, astronome anglais (Alnwick, Northumberland, 1801 - Londres 1892). Auteur de la première théorie complète de l’arc-en-ciel, il a émis l’hypothèse de l’isostasie. Son nom a été donné à la tache de diffraction remplaçant l’image d’un point lumineux dans un instrument d’optique.

Francesco Maria Grimaldi, jésuite et physicien italien (Bologne 1618 - id. 163). En 1650, il a découvert les interférences et la diffraction de la lumière, et considéré la lumière blanche comme formée par un ensemble de rayons colorés.


Principe de Huygens-Fresnel

Considérons une source ponctuelle S0 et une surface Σ entourant S0 (fig. 4) ; l’état vibratoire en un point M extérieur à cette surface peut se calculer en remplaçant la source S0 par une infinité de sources telles que S réparties sur la surface Σ, à condition de donner à chaque source élémentaire un état vibratoire convenable, c’est-à-dire une amplitude convenable. Or, en admettant le principe de propagation des ondes lumineuses, si a(t) représente l’amplitude de l’onde émise par la source S0 à l’instant t, l’amplitude de l’onde au point S à ce même instant t sera proportionnelle à a(t – T), T étant le temps que met la lumière pour parcourir la distance S0S = r, soit, si C est la vitesse de propagation, De la même façon, l’amplitude en M de l’onde émise par la source S sera à l’instant t proportionnelle à a(t – T – T′), avec
L’amplitude en M, que nous appellerons a′ (t), résultera de la somme des amplitudes reçues des différents points S de la surface Σ, soit :

Le signe ∫ représente l’intégrale étendue à tous les points S de la surface Σ, ds étant une petite surface élémentaire entourant un point S, et A un coefficient de proportionnalité qui est fonction de la longueur d’onde des vibrations et des paramètres géométriques θ, θ′, r et r′.

Si la fonction a(t) est sinusoïdale, c’est-à-dire si a(t) = sin 2π vt (v fréquence des ondes lumineuses, , l’expression de a′(t) se met sous la forme

En résumé, pour calculer l’amplitude au point M, on peut remplacer la source ponctuelle S0 par une infinité de sources distribuées sur la surface fermée Σ, chaque source de cette distribution ayant l’amplitude produite par la source S0.