Éd. 1971-1976

décroissance radio-active (suite)

Si l’on représente par λ la probabilité, par unité de temps, pour qu’un noyau se désintègre spontanément, on a La quantité λ s’appelle constante de désintégration ou constante radio-active. L’inverse de λ est la vie moyenne θ de la substance considérée :

Pour préciser la rapidité de la décroissance radio-active, on définit la période : temps nécessaire pour que l’activité diminue de moitié. Cette grandeur, que les Anglo-Saxons appellent half-life ou demi-vie, est une caractéristique de chaque élément radio-actif ; elle varie dans des limites considérables : depuis la fraction de seconde jusqu’au milliard d’années. Elle est reliée à la constante radioactive λ et à la vie moyenne θ par les relations suivantes :

La période précédente s’appelle quelquefois période physique T_p, par opposition à la période biologique T_b, qui est le temps au bout duquel un organisme vivant élimine, par processus biologiques, la moitié d’une quantité déterminée de substances radio-actives qu’il a absorbée. Pour l’iode 131, la période physique est de 8 j, sa période biologique est de 130 j. Dans certains calculs, d’irradiation interne par exemple, pour tenir compte à la fois de la période physique et de la période biologique, on fait intervenir la période effective T_e, reliée aux deux périodes précédentes par la relation

La période effective de l’iode 131 est

Expression de la décroissance radio-active

De la formule on déduit :

Pour déterminer la constante C, on remarque qu’à l’instant initial t = 0 le nombre de noyaux présents est N₀ ; donc C = N₀, puisque e⁰ = 1. Finalement, on a

formule exponentielle montrant que N diminue avec le temps.

Si l’on s’exprime en activité, on a A = A₀ e^–λt. On rencontre quelquefois la formule

qui est équivalente à la formule (1).

En effet, celle-ci peut s’écrire
De même, la formule (2) peut s’écrire d’où

Si l’on prend les logarithmes népériens des deux membres de la formule (3), on obtient

formule fondamentale reliant la constante radio-active λ à la période T.

Deux savants

Johann Julius Elster (Blankenburg 1854 - Wolfenbüttel 1920) et Hans Friedrich Geitel (Brunswick 1855 - Wolfenbüttel 1920), physiciens allemands, étudièrent l’ionisation de l’atmosphère et l’effet photo-électrique. En 1899, ils énoncèrent la loi de décroissance radio-active.

Ph. R.

➙ Activité / Atome / Déchets et effluents radio-actifs / Fission / Noyau / Physique nucléaire / Radio-élément / Rayonnement / Retombée radio-active.

Dedekind (Richard)

Mathématicien allemand (Brunswick 1831 - id. 1916). Il est l’un des principaux fondateurs de l’algèbre moderne.

Quatrième enfant d’un professeur de droit, il entre en 1848 au collège Caroline de Brunswick, où il acquiert des connaissances mathématiques assez sérieuses pour être admis en 1850 à l’université de Göttingen. Ses maîtres sont alors Moritz Abraham Stern (1807-1894), théoricien des nombres, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) et le physicien Wilhelm Eduard Weber (1804-1891). Il regrettera plus tard que la culture mathématique dispensée à Göttingen ait été insuffisamment axée sur les grands problèmes à l’ordre du jour, ce qui l’oblige à s’initier seul à la théorie des fonctions elliptiques, à la géométrie moderne, à l’algèbre supérieure et à la physique mathématique. En 1852, il soutient devant Gauss une thèse de doctorat sur les intégrales eulériennes et, en 1854, est nommé Privatdozent dans son université. Pendant quatre ans, il exerce ces fonctions subalternes. De 1855 à 1857, il suit les cours de Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859), qui succède à Gauss en 1855. Ultérieurement, il édite le Traité sur la théorie des nombres de son maître, dans le XI^e supplément duquel il expose, en 1871, ses propres idées sur les nombres algébriques.

Nommé en 1857 professeur au Polytechnicum de Zurich, Dedekind devient en 1862 professeur à l’école technique supérieure de Brunswick, où il reste jusqu’à sa mort.

En 1872, il publie une courte brochure intitulée Stetigkeit und irrationale Zahlen (Continu et Nombres irrationnels), dans laquelle, s’inspirant du V^e livre des Éléments d’Euclide, il définit d’abord les « coupures » de l’ensemble ℚ des nombres rationnels. Une coupure est une partition de l’ensemble ℚ en deux sous-ensembles disjoints, tout nombre du second sous-ensemble étant supérieur à tout nombre du premier. Chaque élément de ℚ définit une coupure, les deux sous-ensembles étant d’une part celui des nombres au plus égaux à l’élément, d’autre part celui des nombres qui lui sont supérieurs. La réciproque n’est pas vraie. Certaines coupures ne sont pas définies par un élément de ℚ. Dedekind nomme de telles coupures nombres irrationnels. Il montre comment l’on peut calculer sur de telles entités, faisant ainsi disparaître l’antinomie entre arithmétique et géométrie. Dans une autre brochure, Was sind und was sollen die Zahlen ? (Nature et signification des nombres), parue en 1888, mais dont les conceptions remontent aux années 1872-1878, il ramène la notion d’entier naturel à celle d’ensemble fini. Pour lui, un ensemble est fini s’il ne peut être injecté dans aucune de ses parties propres.

Lié d’amitié avec Georg Cantor (1845-1918), il l’aide à construire la théorie des ensembles, qu’il sait utiliser en mathématique classique. C’est ainsi que, dans l’étude des nombres algébriques, il substitue aux nombres idéaux d’Ernst Eduard Kummer (1810-1893) la notion d’idéal, sous-groupe additif d’un anneau, stable pour la multiplication. Cette notion se révèle féconde dans tous les domaines des mathématiques. Il en donne lui-même la preuve lorsque, en 1882, il l’applique avec son disciple Heinrich Weber (1842-1913) à la théorie des courbes planes algébriques. Cette théorie, qui ressortit jusque-là à la géométrie et à l’analyse, devient ainsi un chapitre de l’algèbre* pure.

J. I.

R. Dedekind, Gesammelte Werke (Brunswick, 1930-1932 ; 3 vol.). / E. T. Bell, Men of Mathematics (New York, 1937 ; rééd., 1965 ; trad. fr. les Grands Mathématiciens, Payot, 1939 ; 3^e éd., 1961). / J. Cavaillès, Philosophie mathématique (Hermann, 1963). / P. Dugac, Richard Dedekind et les fondements des mathématiques (Vrin, 1976).