conique (suite)

7^o 2x² + 3y² = 0 est l’équation de deux droites imaginaires conjuguées, car elle se décompose sous la forme

et donne les droites d’équations et qui sont imaginaires conjuguées, car leurs coefficients sont deux à deux imaginaires conjugués.

Réduction des coniques en axes rectangulaires (base orthonormée)

Réduction des coniques à centre

Dans l’équation
AC – B² est non nul et la conique correspondante n’est pas du genre parabole. Le centre ω (x₀, y₀) est fourni par le système f_x′ = 0, f_y′ = 0 ; on le prend comme nouvelle origine, les formules de changement d’axes étant x = X + x₀, y = Y + y₀. L’équation (1) devient alors l’équation

avec f = AC – B². On prend alors comme nouveaux axes les axes ωx′ et ωy′ ayant pour vecteurs unitaires les vecteurs propres de la matrice  ; cette nouvelle base est orthonormée. L’équation (2) se met sous la forme

λ₁ et λ₂ étant les valeurs propres de la matrice c’est-à-dire les racines de l’équation λ² – (A + C)S + AC – B² = 0.

1^o Si λ₁ et λ₂ sont de signes contraires à on pose et (3) s’écrit qui est l’équation d’une ellipse de demi-axes a et b, respectivement sur ωx′ et ωy′.

2^o Si λ₁ et λ₂ sont du signe de on pose et (3) devient qui est l’équation d’une ellipse imaginaire d’axes ωx′ et ωy′.

Dans le cas particulier où λ₁ = λ₂, on obtient un cercle, réel ou imaginaire.

3^o Si λ₁ et λ₂ sont de signes contraires, en posant soit et soit et l’équation (3) devient soit soit qui sont, l’une et l’autre, l’équation d’une hyperbole d’axes ωx′ et ωy′.

Exemple. Pour réduire l’équation 34x² – 24xy + 41y² + 116x – 188y + 46 = 0, on prend comme nouvelle origine le point ω (x₀ = – 1, y₀ = 2), x₀ et y₀ étant solution du système 17x – 6y + 29 = 0, 12x – 41y + 94 = 0 (f_x′ = f_y′ = 0), les formules de changement d’axes étant x = X – 1, y = Y + 2, ce qui donne l’équation 34X² – 24XY + 41Y² – 200 = 0. Les nombres λ₁ et λ₂ sont racines de l’équation λ² – 75S + 1 250 = 0 : on obtient λ₁ = 25 et λ₂ = 50 ; d’où l’équation 25x′² + 50y′² = 200, ou x′² + 2y′² = 8, ou La courbe obtenue est l’ellipse réelle de centre ω (– 1 ; 2), de demi-axes et b = 2, portés par ωx′ et ωy′.

Réduction des coniques à direction asymptotique double

Pour l’équation
B² – AC = 0 ; par suite, l’équation λ² – (A + C)S + AC – B² = 0 qui donne les valeurs propres de la matrice se réduit à λ² – (A + C)S = 0 et admet une racine nulle λ = 0 et une racine non nulle λ₁ = A + C. Sans changer l’origine, on choisit l’axe OX suivant la direction asymptotique double, dont un vecteur unitaire est un vecteur propre de la matrice correspondant à la valeur propre λ = 0, et l’axe OY suivant la direction perpendiculaire, dont un vecteur unitaire est un vecteur propre de la matrice correspondant à la valeur propre λ₁ ≠ 0. L’équation (1) devient alors

1° Si D′ ≠ 0, l’équation (2) devient λ₁y′² + 2D′x′ = 0, puis

en posant puis L’équation (3) est celle d’une parabole de paramètre p et de sommet dans le système OXY).

2° Si D′ = 0, l’équation (2) est celle de deux droites parallèles à OX.

Exemple. L’équation x² + 2xy + y² + 2x – y + 1 = 0, qui s’écrit (x + y)² + 2x – y + 1 = 0, se réduit finalement à car AC – B² = 0, S₁ = 2, les vecteurs unitaires de OX et OY étant respectivement les vecteurs et et les coordonnées du sommet étant, dans la base XOY, et Pratiquement, on reconnaît l’équation d’une parabole au fait que AC – B² = 0. Si l’on veut obtenir rapidement l’équation de l’axe et de la tangente au sommet de la parabole, on introduit un paramètre λ dans l’équation de la parabole, de la façon suivante :
(x + y)² + 2x – y + 1 ≡ (x + y + λ)² + 2(1 – λ)x – (1 + 2λ)y + 1 – λ² = 0 ;
puis, on dispose de λ de façon que les deux droites d’équation
x + y + λ = 0 et 2(1 – λ)x – (1 + 2λ)y + 1 – λ² = 0
soient perpendiculaires, ce qui se produit, en supposant les axes rectangulaires, si

on obtient alors l’axe et la tangente au sommet, Le sommet est l’intersection de ces deux droites.

Hyperbole rapportée à certains de ses éléments

Hyperbole rapportée à ses axes

Le système d’axes xoy est supposé orthonormé.

L’hyperbole H₁ a pour équation avec OA = OA′ = a, OB = OB′ = b ; A et A′ sont les sommets de l’hyperbole, Ox est l’axe transverse, ou focal, Oy est l’axe non transverse. Le faisceau des droites D₁ et D₂, asymptotes de l’hyperbole, a pour équation D₁ et D₂ ont pour équations respectives et L’hyperbole H₂ est l’hyperbole conjuguée de H₁ : l’axe transverse de l’une est l’axe non transverse de l’autre et elles ont mêmes asymptotes. L’équation de H₂ est Les points F et F′ sont les foyers de l’hyperbole, FF′ = 2c est la distance focale et c² = a² + b². L’hyperbole H₁ est aussi l’ensemble des points M tels que | MF – MF′ | = 2a.

Hyperbole rapportée à ses asymptotes

En choisissant deux axes OX et OY portés par les asymptotes de l’hyperbole, les modules des vecteurs unitaires des quatre axes ox, oy, OX et OY étant égaux, l’équation de l’hyperbole est avec et On tire de cette équation quelques conséquences simples.

1. Quand une droite D, coupant les asymptotes en R et S, varie en gardant une direction fixe, les produits et restent constants et égaux.

2. La droite D étant quelconque, RM = SM₁, ou encore les segments RS et MM₁ ont même milieu.

3. Le point de contact M d’une tangente à l’hyperbole est le milieu du segment TT′ déterminé par les asymptotes sur cette tangente. On déduit de cette propriété une méthode de construction des points d’intersection d’une droite et d’une hyperbole définie par ses asymptotes et un point.