Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
C

classe et relation (suite)

Certaines relations, comme « plus petit que », sont telles que, si elles existent entre x et y et entre y et z, elles existent nécessairement entre x et z. Elles sont dites transitives. On aura aussi des relations intransitives, c’est-à-dire des relations qui ne sont jamais transitives, comme « père de », et des relations non transitives, comme « ami de » :

La propriété de réflexivité pose un problème supplémentaire. Revenons sur la relation d’identité que nous avons notée = (v. calcul des prédicats). D’une part, son champ est constitué par l’univers du discours tout entier, et, d’autre part, tout élément est identique à lui-même : Toute relation qui jouit de ces deux propriétés est dite totalement réflexive :

ou encore, en posant I = df { xy | x = x},

En revanche, une relation comme R = df « avoir le même âge que » n’a évidemment pas pour champ tous les objets pensables. Il est faux de dire que deux nombres ont le même âge. Toutefois, pour les objets x qui ont un âge, alors on a bien xRx. On dira qu’une telle relation est réflexive, quoique non totalement. Elle l’est donc dans les limites de son champ :


Remarque

On pourrait s’étonner que nous n’ayons pas pris en considération le champ des relations pour introduire la symétrie et la transitivité. Une telle précaution était rendue inutile par les propriétés de la conditionnelle. En effet, nous avons posé

Si x et y prennent leurs valeurs hors du champ de R, l’antécédent xRy de la conditionnelle est tout simplement faux, mais alors la conditionnelle elle-même est vraie (v. calcul des propositions).

Une relation comme « être père de » est irréflexive, en ce sens que personne ne saurait être son propre père :

Enfin, une relation comme « voter pour » peut être ou n’être pas réflexive : elle est non réflexive.

Ces diverses propriétés ne sont pas toutes indépendantes, et l’on peut en particulier établir les théorèmes suivants :

Deux autres propriétés jouent encore un rôle important. Comparons la relation d’inclusion entre classes avec la relation « plus petit ou égal » entre nombres naturels. Toutes deux sont transitives et réflexives. De plus, elles jouissent encore de la propriété suivante :
Si α ⊆ β et β ⊆ α, alors α = β, et si x < y et y < x, alors x = y. On dit qu’elles sont antisymétriques.

D’une façon générale, on pose

En revanche, elles se distinguent formellement l’une de l’autre par le trait suivant. Soit α et β deux classes distinctes quelconques. Trois éventualités sont possibles : α est contenue dans β, β est contenue dans α, la relation d’inclusion n’existe ni dans un sens ni dans l’autre, autrement dit α et β se coupent ou sont disjointes. Au contraire, si x et y sont deux nombres naturels différents, deux éventualités seulement peuvent se présenter : ou On dit que la relation « plus petit ou égal » entre nombres naturels est connexe. D’une façon générale, on pose

Il est maintenant possible de définir deux catégories fondamentales de relations : celles d’équivalence et d’ordre.

Par définition, toute relation qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive est une relation d’équivalence :

La relation d’équivalence logique ↔, celle d’identité =, celle d’égalité entre classes = et entre relations = sont des relations d’équivalence. En général, toutes les relations qui s’expriment par des locutions du genre « avoir même... que », « être aussi... que » sont des relations d’équivalence. Leur rôle épistémologique est considérable en ce qu’elles sont à la base des classifications. Si, par exemple, on classe des objets selon leur couleur, on obtient une partition de la classe de départ en autant de classes d’équivalence qu’il y a de couleurs différentes.

Quant aux relations d’ordre, on en distingue de plusieurs espèces, comme le montre le tableau suivant :

L’habitude s’impose de plus en plus d’entendre simplement par relation d’ordre ce qui est appelé ici relation d’ordre total. Enfin, certains appellent préordre ce qui est appelé ici quasi-ordre.

On appelle souvent relation sériale une relation irréflexive transitive et connexe. Telle est, par exemple, la relation < sur les nombres naturels. Une telle relation est aussi asymétrique en vertu de la loi (3) ci-dessus.

Cela est assez loin d’épuiser toutes les propriétés intéressantes des relations. Ainsi, la relation < définie sur les nombres rationnels est encore telle que, si x < y, on peut toujours trouver un z qui satisfasse aux deux conditions x < z et z < y. On dit que cette relation est dense, et l’on pose en général

Notons que la densité ne suffit pas à caractériser la relation d’ordre sur les nombres réels. Il faut encore introduire une notion de continuité (v. par exemple Carnap, 1954).

Introduisons encore pour terminer trois définitions qui jouent un rôle important en mathématiques.

Soit xRy = df x est père de y. Quel que soit le y que l’on considère, il a au plus un père, tandis qu’il se peut fort bien qu’un x donné soit en relation R avec plus d’un y. Nous dirons qu’une telle relation est univoque à gauche et nous poserons

Prenons maintenant la relation duale, c’est-à-dire posons xRy = df x a pour père y. Cette fois-ci, un x donné a au plus un y comme père. Nous dirons que cette relation est univoque à droite et nous poserons

Si Und(R), un même élément x du domaine ne peut avoir plus d’une image par R, c’est la raison pour laquelle certains auteurs (J. B. Rosser, 1953) appellent ces relations des fonctions.

Enfin, une relation qui est univoque à gauche et à droite est dite biunivoque :

Les relations biunivoques jouent un rôle essentiel dans la construction logique des nombres.

J.-B. G.