Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
C

classe et relation (suite)

Ces définitions expliquent que les opérateurs entre classes ∩, ∪ et jouissent des mêmes propriétés que les opérateurs propositionnels ∨, ∧ et ~. On aura donc :
(1) Commutativité

(2) Associativité

(3) Distributivité

(4) Idempotence

(5) Lois de Morgan

(6) Double négation

D’autre part, on a des lois dans lesquelles figurent la classe vide et la classe totale.
(7) Lois de complémentarité

(8) Lois des éléments neutres

(9) Lois d’absorption

(10) Lois de polarité

Il s’agit là d’une façon, en réalité redondante, de montrer que le calcul des classes ainsi défini a structure d’algèbre de Boole.

Introduisons encore une nouvelle opération, dite « différence symétrique » et notée  :

en rappelant que désigne la disjonction exclusive, c’est-à-dire que est équivalente à ax ∨ bx ∧ ~ (ax ∧ bx). Les éléments de sont donc ceux qui appartiennent à α sans appartenir à β réunis à ceux qui appartiennent à β sans appartenir à α.

L’opération est commutative et associative. D’autre part, on a, quel que soit α, et On peut donc considérer que la classe vidé est élément neutre relativement à et que chaque classe est son élément inverse. On est donc en présence d’une structure de groupe.

Si l’on observe encore que

on constatera que l’on a maintenant affaire à une structure d’anneau. Enfin, si l’on tient compte de la commutativité de ∩ (1a), de la loi d’idempotence de ∩ (4a) et du fait que ∨ est élément neutre pour ∩ (8a), on aura, par définition, structure d’anneau de Boole.

Notons que l’on peut introduire entre classes une relation d’ordre partiel, à savoir la relation d’inclusion, notée ⊆. Il suffit de poser

Comme on peut démontrer les deux équivalences suivantes :

on aurait là deux autres façons de définir l’inclusion.

La relation d’égalité et celle d’inclusion ne sont pas les seules qui peuvent exister entre deux classes. Deux classes α et β peuvent avoir à la fois des éléments communs et des éléments distincts, c’est-à-dire se couper. Dans ce cas, on pourra écrire α ∩ β ≠ ∧, α ∩ β ≠ α et α ∩ β ≠ β. Enfin, deux classes peuvent être disjointes, c’est-à-dire sans éléments communs : α ∩ β = ∧.

La théorie des types, que nous avons tacitement admise, conduit à distinguer rigoureusement la relation ∈, qui, dans ce qui précède, relie un objet à une classe, et la relation d’inclusion, qui relie deux classes. Introduisons, pour le montrer, la notion de classe singulière, c’est-à-dire la notion d’une classe qui contient un et un seul élément. On peut poser

soit : la classe qui contient le seul élément x est la classe des y qui sont identiques à cet x. On a alors, si α est une classe quelconque

En d’autres termes, x est élément de α si et seulement si la classe singulière qui contient x est incluse dans α.

Remarquons, pour terminer, qu’il est encore facile de définir la notion de classe qui contient exactement 2, 3, ..., n éléments. Ainsi, la classe qui contient deux et seulement deux éléments sera définie par

et ainsi de suite.


La notion de relation

De même qu’une classe peut être considérée comme l’extension d’une forme propositionnelle qui contient une seule variable libre, de même une relation n-aire peut être considérée comme l’extension d’une forme propositionnelle qui contient n variables libres distinctes. Nous allons nous contenter de considérer les relations binaires, c’est-à-dire que nous allons traiter du cas de deux variables x et y.

Soit, par exemple, la classe α = { 0,1,2,3,4 } et soit la relation arithmétique « plus petit que » sur α. Il est clair que cette relation, que nous noterons comme de coutume <, est vérifiée entre certains couples d’éléments de α et qu’elle ne l’est pas entre d’autres. Ainsi, 1 < 4, 2 < 3 sont des propositions vraies. La relation < introduit de nouveau une partition, non pas dans α, mais dans la classe de tous les couples dont le premier et le second terme sont des éléments de α.

Il y a toutefois un problème préalable à résoudre. Si la classe des deux éléments { 1, 3 } est égale à la classe { 3, 1 }, parce que, conformément à la définition de l’égalité des classes, il faut être capable de distinguer le couple (1, 3) du couple (3, 1), en ce sens que 1 < 3 est une proposition vraie, mais que 3 < 1 est une proposition fausse. En d’autres termes, il faut trouver un procédé capable d’ordonner les éléments d’une classe ou encore de reconnaître formellement le premier et le second terme. Diverses solutions sont possibles. Nous adopterons la suivante :

Le couple ordonné (x,y) est en effet différent du couple ordonné (y,x), puisque ce dernier s’écrit

Cette définition caractérise donc le premier terme d’un couple en stipulant que c’est celui qui figure dans la classe singulière. On peut, certes, lui trouver un caractère artificiel, mais elle est commode et d’un usage fréquent.

La notion de couple (ordonné) ainsi définie, il est possible de généraliser l’expression (*) de la façon suivante :

Il est évident que les précautions nécessaires pour éviter l’antinomie de Russell doivent encore être prises ici. D’autre part, les variables x et y qui figurent dans la notation { xy | A (x,y) } sont encore des variables liées, et l’on pourrait tout aussi bien écrire par exemple { uv | A (u,v) }.

Dès lors, l’extension d’une forme propositionnelle à deux variables, et en particulier celle d’une relation binaire, apparaît comme une classe de couples ordonnés. Ainsi, l’extension de la relation < sur la classe α donnée est tout simplement

Soit maintenant deux classes α et β, distinctes ou non. On peut définir le produit cartésien de α par β :

Le produit α × β est donc la classe de tous les couples dont le premier terme est élément de α et le second élément de β. L’opération × n’est pas commutative.

α × β est ainsi une relation, et, comme la définition ne suppose pas que α ≠ β, on peut aussi introduire α × α = df α2. Il s’ensuit que toutes les relations qu’il est possible de considérer sur une classe α donnée sont des parties, donc des sous-classes, du produit de cette classe par elle-même.