balance (suite)

Chargeons maintenant les plateaux avec les masses m_l et m₂ choisies de façon à ramener la balance au zéro. Ce sont alors les poids p₁ + m₁g et p₂ + m₂g qui sont appliqués aux arêtes des couteaux latéraux. On doit avoir :

Par différence de (2) et (1) on obtient :

La balance est dite juste si m₁ = m₂ dans les limites de la précision exigée. Cela rend nécessaire l’égalité dans les mêmes limites de précision relative.

Pour une balance courante, de précision 10^–3 (portée 1 kg, précision 1 g), il sera facile de réaliser cette condition. Si la longueur des bras du fléau est environ 200 mm, on pourra tolérer entre eux une différence de 0,2 mm. La méthode de mesure qui vient d’être décrite est appelée simple pesée. Elle peut convenir pour une balance ordinaire.

Pour une balance de très grande précision, la condition est irréalisable. En effet, pour mesurer 1 kg à 1 µg près, il faudrait, avec la même dimension de fléau que ci-dessus, une différence entre les longueurs de ses deux bras inférieure à 0,000 000 2 mm, donc plus petite que les distances interatomiques. Une balance de précision est toujours fausse. La simple pesée ne convient pas, mais il existe d’autres méthodes pour effectuer une mesure exacte.

Équilibre de la balance sensibilité

On peut remplacer les poids p₁ + m₁g et p₂ + m₂g appliqués en A₁ et A₂ par le poids unique
Mg = p₁ + p₂ + (m₁ + m₂)g
appliqué en Q, intersection de A₁A₂ et de OG. Posons OG = d, OQ = d₀, et désignons par m_f la masse du fléau.

Déposons par exemple sur le plateau de droite une petite surcharge de masse m_s. Le fléau s’incline d’un angle pour retrouver une position d’équilibre (fig. 2). On a alors :
m_sgl₂ cos (φ₂ + α) – (m_fd + Md₀)g sin α = 0.

Les angles α et φ₂ étant supposés petits, cela s’écrit :

La quantité S ainsi calculée, quotient de l’angle de rotation du fléau par la masse de la surcharge, est appelée sensibilité de la balance.

Si d₀ est positif (Q au-dessous de O), la sensibilité décroît lorsque la charge croît. Si d₀ est négatif, la sensibilité croît avec la charge, mais, simultanément, la flexion du fléau augmente et peut rendre d₀ nul, puis positif. Dans ce cas, la sensibilité croît, puis décroît.

Le cas le plus simple, que l’on cherche à réaliser dans les balances de précision, est obtenu lorsque d₀ est nul et le fléau suffisamment rigide pour que l’on puisse négliger sa flexion. Alors la sensibilité est indépendante de la charge et s’écrit :

Elle est inversement proportionnelle à d. On peut l’accroître en diminuant d. Pour cela, on règle la position de masselottes solidaires du fléau. La période des oscillations de la balance est dans ces conditions :

I étant le moment d’inertie par rapport à O de tout le système mobile. On a donc

La sensibilité est proportionnelle au carré de la période. Son accroissement augmente la durée des pesées. Une balance de grande précision peut avoir une période comprise entre une et deux minutes.

Conduite d’une pesée sur une balance de précision

La balance étant arrêtée, c’est-à-dire immobilisée de façon que les couteaux ne soient plus en contact avec leurs plans d’appui, la balance est chargée avec les masses m₁ et m₂ (masse inconnue). La masse m₁ est ajustée, moyennant quelques essais rapides, à une valeur très proche de m₂. La cage est alors fermée. Après une durée de repos pouvant dépasser 12 heures, la balance est libérée et oscille librement. On note les élongations angulaires successives, mesurées à partir du zéro de la balance, α₁, α₂, α₃, α₄... de part et d’autre de la position d’équilibre et on calcule celle-ci par l’une des formules

ou

Soit la masse qui aurait redonné le zéro de la balance. Nous posons

et nous pouvons écrire d’après (4)

Double pesée de Borda

On substitue alors à m₂ des masses étalonnées m₀, très voisines. On observe les oscillations et on en déduit la position d’équilibre α′. Nous posons de même

d’où

Il résulte des égalités (5) à (8) :

On voit que m₁ n’intervient pas. Cette masse est appelée tare.

Double pesée de Gauss

On permute les masses m₁ et m₂ sans les modifier. L’équilibre est maintenant α″. Soit la masse de m₁ qui aurait conduit à α″ = 0. Nous posons :

d’où

Les masses et d’une part, m₂ et d’autre part satisfont à la condition d’équilibre (3) de la balance en son zéro, c’est-à-dire :

On en déduit, à l’aide des relations (5), (6), (9) et (10) et moyennant quelques approximations :

Cette fois, c’est m₁ qui joue le rôle de masses étalonnées. Cette méthode est plus précise que la précédente, puisqu’elle conduit à observer une différence deux fois plus grande entre les deux équilibres.

Remarques

1. La double pesée de Gauss est souvent décrite comme consistant à obtenir rigoureusement le zéro de la balance au moyen des masses et équilibrant m₂, successivement placée sur un plateau puis sur l’autre. La relation (3) s’écrit alors

d’où

En fait, on emploie la méthode de Gauss uniquement sous la forme décrite précédemment.
2. La sensibilité est déterminée immédiatement après chaque pesée au moyen de surcharges appropriées manipulées à distance, la balance restant chargée.
3. La substitution des masses, ou leur permutation (appelée transposition), est effectuée plusieurs fois successivement, à distance, sans ouvrir la cage, afin de compenser les erreurs qui pourraient être dues aux dilatations légèrement différentes des deux bras du fléau.
4. La différence des masses obtenue est une différence de masses apparentes, dans l’air. Si les deux masses comparées sont de volumes différents, il faut la corriger en tenant compte de la poussée d’Archimède due à l’air.
5. Certaines balances de laboratoire sont munies d’amortisseurs à air (balances de Curie) ou à liquide dans le but d’accroître la rapidité des mesures, mais cela est en partie illusoire, parce qu’il faut attendre environ la durée d’une période après l’immobilisation de la balance pour s’assurer qu’elle est vraiment immobile.