Se dit de tout ensemble E muni à la fois :
— d’une loi de groupe commutatif, notée additivement ;
— d’une loi de composition externe, notée qui est une application de l’ensemble produit K × E dans E, K étant un corps commutatif, telle que :

1 désignant l’élément unité du corps K.

Un tel ensemble est un espace vectoriel sur le corps commutatif K. Le corps K est souvent appelé le corps des scalaires de l’ensemble E. On désigne par O à la fois le zéro du groupe additif E et le zéro du groupe additif du corps de K. Cela n’entraîne aucune ambiguïté.

Des axiomes définissant un espace vectoriel, on tire les conséquences immédiates suivantes :

O désigne dans les relations (1) et (4) le zéro de l’ensemble E et dans les relations (2) et (3) le zéro du corps K.

Enfin, l’égalité λx = 0 entraîne soit λ = 0, soit x = 0 (λ ∈ k et x ∈ E) ; car, si λ ≠ 0, existe et ce qui entraîne x = 0, puisque 1 . x = x.

Exemples d’espaces vectoriels.
Si x = (x_i), pour i = {1, 2, ..., n}, désigne le point de l’ensemble produit ℝⁿ, c’est-à-dire le point de coordonnées (x₁, x₂, ..., x_n), l’ensemble ℝⁿ, muni de l’addition définie par (x + y) = (x_i + y_i) et de l’opération externe αx = (αx_i), α ∈ ℝ, est un espace vectoriel sur le corps des réels ℝ. Pour n = 1, 2 ou 3, on obtient respectivement la droite réelle, le plan ou l’espace à trois dimensions.
L’ensemble des polynômes à une variable à coefficients réels, muni de l’addition des polynômes et de la multiplication par un réel, constitue un espace vectoriel sur le corps ℝ. Il en est de même des fonctions continues sur [0, 1] ou des fonctions continues et dérivables sur [0, 1].

Sous-espaces vectoriels

On appelle sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E sur un corps K tout sous-ensemble A de cet espace, tel que :
— le sous-ensemble A soit un sous-groupe additif de l’espace E ;
— pour tout α ∈ K et pour tout x du sous-ensemble A, on ait αx ∈ A.

Le sous-ensemble A est donc une partie de E telle que les restrictions des lois de E à A confèrent à A une structure d’espace vectoriel.

Si (A_i)_i ∈ I est une famille de sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E et si est l’intersection des sous-espaces de cette famille, A est aussi un sous-espace vectoriel de l’espace E, car, si x ∈ A_i et y ∈ A_i, pour tout i ∈ I, x + y ∈ A et αx ∈ A_i pour tout i ∈ I entraîne αx ∈ A.

Si X est une partie de l’espace vectoriel E, il existe des sous-espaces vectoriels de cet espace contenant X, ne fût-ce que l’espace E. L’intersection de tous ces sous-espaces est un sous-espace de l’espace E, appelé sous-espace vectoriel engendré par X : c’est le plus petit sous-espace contenant X, noté Vect (X). Toute combinaison linéaire d’éléments de X, c’est-à-dire tout élément de la forme où α_i ∈ K et a_i ∈ X, les éléments α_i étant tous nuls, sauf un nombre fini d’entre eux, appartient à Vect (X). Inversement, l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de X constitue un sous-espace vectoriel de l’espace E, contenant X ; c’est donc Vect (X). On a :
Vect (X ∪ Y) = Vect (X) + Vect (Y) ;
Vect (X ∩ Y) ⊂ Vect (X) ∩ Vect (Y), avec Vect (∅) = {0} ;
si X ⊂ Y, Vect (X) ⊂ Vect (Y) ;
enfin, Vect [Vect (X)] = Vect (X).

Exemple de sous-espace vectoriel.
Dans l’espace ℝ[x] des polynômes à coefficients réels à une variable x, l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à deux est un sous-espace engendré par la partie {1, x, x²} de ℝ[x].

Sous-espaces supplémentaires

Deux sous-espaces X₁ et X₂ de l’espace vectoriel E sont dits supplémentaires si X₁ ∩ X₂ = ∅ et si tout élément x de l’espace E peut se mettre sous la forme x = x₁ + x₂, où x₁ ∈ X₁ et x₂ ∈ X₂. On note alors X₁ + X₂ = E ; x₁ est la projection de x sur X₁, parallèlement à X₂, ou x₁ est la composante de x dans X₁. Les composantes x₁, et x₂ sont uniques. En effet, s’il existait deux décompositions on aurait ce qui est impossible si car alors X₁ et X₂ auraient en commun un élément non nul, ce qui est contraire à l’hypothèse X₁ ∩ X₂ = {0}.

Exemples.

• Dans ℝ³ rapporté à un repère quelconque, un plan et une droite non contenue dans ce plan sont deux sous-espaces supplémentaires, par exemple le plan d’équation x + y + z = 0 et la droite d’équations x = y = z. On peut prendre le même plan et la droite d’équations x – y = 0, z = 1. Un même sous-espace peut admettre plus d’un sous-espace supplémentaire.

• L’espace vectoriel E est l’espace ℝ[x] des polynômes à coefficients réels à une variable x ; X₁ est le sous-espace de ℝ[x] des polynômes de degré inférieur ou égal à deux ; X₂ est le sous-espace de ℝ[x] des polynômes sans terme constant, sans terme du premier ni du second degré.

• L’espace vectoriel E est l’espace ℱ (ℝ, ℝ) des fonctions numériques réelles définies sur ℝ ; X₁ est le sous-espace des fonctions paires, et X₂ celui des fonctions impaires. Toute fonction f ∈ ℱ se décompose en f = P + J de façon que

Si, dans l’espace vectoriel E, les deux sous-espaces X₁ et X₂ sont supplémentaires, l’espace E est dit somme directe de X₁ et X₂. On généralise cette notion.