Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
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Trieste (suite)

 A. Tamaro, Storia di Trieste (Rome, 1924 ; 2 vol.). / J. Leprette, le Statut international de Trieste (Pedone, 1949). / R. H. Charlier, le Territoire libre de Trieste (Montgommery, Alabama, 1957). / R. Dollot, Trieste et la France, 1702-1958. Histoire d’un consulat (Pedone, 1961). / E. Borlenghi, Trieste (Turin, 1967). / J.-B. Duroselle, le Conflit de Trieste, 1943-1954 (Institut de sociologie, Bruxelles, 1967).

trigonométrie

Branche des mathématiques élémentaires qui calcule les éléments d’un triangle défini par des données numériques.



Introduction

Dans le sens étroit de ce mot, forgé du grec au xvie s., la trigonométrie se subdivise en trigonométrie plane si le triangle est plan et en trigonométrie sphérique si le triangle est formé par des grands cercles d’une sphère. Mais le terme signifie de plus en plus l’étude des « rapports trigonométriques » ou des « fonctions trigonométriques » : sinus, cosinus, tangente et cotangente d’un arc ou d’un angle. On dit aussi fonctions circulaires.

Chez les Grecs, la trigonométrie est un ensemble de techniques étroitement liées à l’astronomie. Elle ne s’occupe que des figures sphériques, n’utilise comme fonctions que les cordes des arcs de cercle, s’appuie pour l’établissement des tables sur le quadrilatère inscriptible et pour l’utilisation aux figures sphériques sur le théorème de Ménélaos. Les calculs s’effectuent au moyen des fractions sexagésimales babyloniennes. L’étude de l’évolution de la trigonométrie à partir de ce stade, déjà très élevé, porte sur les points suivants : introduction de la trigonométrie plane, substitution des sinus aux cordes, apparition des autres lignes trigonométriques, nouveaux procédés pour le calcul des tables, apparition des fractions décimales, puis, depuis la fin du xvie s., application à la trigonométrie de l’algèbre d’abord, de l’analyse infinitésimale ensuite.


Antiquité

Le traité des Sphériques de Ménélaos, qui se situe vers la fin du ier s. de notre ère, fournit à Claude Ptolémée d’Alexandrie (v. 90 - v. 168) les propositions fondamentales de trigonométrie sphérique, en particulier le célèbre « théorème de Ménélaos ». Si un triangle ABC, plan ou sphérique, est coupé par une droite ou un grand cercle en L, M, N, on a :
dans le plan

sur la sphère

D’autre part, Ménélaos a composé six livres sur les cordes du cercle. Ce travail, que l’on a perdu, a peut-être des modèles remontant au moins à Hipparque, astronome du iie s. av. J.-C. Si la terminologie grecque se ressent de cette tradition, l’attention des mathématiciens est attirée, au plus tard dès Ménélaos, sur la « demi-corde de l’are double », notre sinus, qui joue dès lors un rôle fondamental.

Le monument le mieux conservé de la trigonométrie grecque est l’ensemble formé des chapitres ix et xi du premier livre de la Syntaxe mathématique ou Almageste de Claude Ptolémée.

Le chapitre ix, « Évaluation des droites inscrites dans le cercle », porte sur la construction des tables de cordes. À cet effet, Ptolémée utilise les résultats du livre IV des Éléments d’Euclide, auxquels il ajoute une proposition qui porte aujourd’hui son nom : « Dans tout quadrilatère inscrit dans un cercle, le produit des deux diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés. » Cet ensemble est complété par quelques inégalités remarquables qui permettent les interpolations. Le diamètre est divisé en 120 parties égales, et la circonférence en 360°. Les tables sont calculées de 30′ en 30′ d’arc. Les cordes sont données en parties du diamètre, minutes et secondes.

Le chapitre xi, « Préliminaires pour les transformations sphériques », établit les théorèmes plan et sphérique de Ménélaos, et les utilise systématiquement dans les calculs astronomiques.


Indiens et Arabes

Ce sont les Indiens qui donnent un nom technique à la demi-corde de l’arc double. Ce nom est devenu notre sinus au travers des traductions en arabe, puis d’arabe en latin.

Chez les Arabes, des tables précises des sinus sont calculées en division sexagésimale, en particulier par Abū al-Wafā’ al-Būzadjānī (940-997 ou 998) pour les divisions en quart de degré, avec quatre positions sexagésimales. À côté des sinus, ce mathématicien introduit d’ailleurs sous d’autres noms la tangente et la sécante.

On a un magnifique exemple d’utilisation des tables dans les deux trigonométries par les Arabes orientaux dans le Traité du quadrilatère de Nāṣir al-Dīn al-Ṭūsī (1201-1274). Le quadrilatère qui donne son nom à l’ouvrage est formé d’un triangle sphérique et d’un grand cercle, et permet d’utiliser le théorème de Ménélaos. La résolution des triangles plans est exposée au début de l’ouvrage et celle des triangles sphériques quelconques est nettement donnée comme étant le but de l’ouvrage, dont elle forme le livre V. La proportionnalité des sinus des côtés à ceux des angles opposés, déjà connue d’Abū al-Wafā’ al-Būzadjānī, est démontrée de nouveau. Lorsque le triangle est donné par ses trois angles, il est résolu grâce au triangle supplémentaire. Cette dernière proposition sera retrouvée plus tard par François Viète* (1540-1603).


La Renaissance occidentale

En Occident, la trigonométrie, toujours intimement liée à l’astronomie et à l’astrologie, est surtout étudiée au xive s. par l’école d’Oxford, notamment par John Mauduith (vers 1306-1340) et par Richard Wallingford (1292-1335).

Au xve s. Regiomontanus (1436-1476) compose vers 1464 son De triangulis. Cet ouvrage est très proche du Traité du quadrilatère de Nāsir al-Dīn al-Tūsī, mais l’originalité de sa rédaction et sa solide construction en font une œuvre originale, qui fonde la trigonométrie occidentale. On doit aussi à Regiomontanus une table des tangentes, Tabula fecunda, où le rayon est divisé en 100 000 parties. D’ailleurs, les difficultés des calculs font se multiplier chez les divers auteurs les genres de lignes trigonométriques. Sous des appellations très variables, on voit ainsi apparaître le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante ainsi que le « sinus verse ».