Épreuve réalisée sur un échantillon ou un groupe de plusieurs échantillons et ayant pour objet de conduire à une règle de décision, acceptation ou rejet d’une hypothèse, choix entre deux hypothèses.

Une hypothèse statistique est une hypothèse relative à la valeur des paramètres ou à la forme de la loi de distribution d’une ou de plusieurs populations et dont on se propose d’examiner la validité à partir d’observations sur un ou plusieurs échantillons tirés au hasard dans ces populations.

Une hypothèse est paramétrique si elle porte sur la valeur du ou des paramètres (moyenne, variance, coefficient de corrélation, etc.) ou encore si elle porte sur l’égalité des paramètres de lois de forme spécifiée a priori (égalité de deux moyennes, de deux variances, etc.).

Test d’une hypothèse

Une hypothèse H₀, souvent appelée hypothèse nulle, étant formulée en termes statistiques, son test est fondé sur le calcul d’une certaine fonction des observations, conduisant, suivant une règle préalablement fixée, à accepter ou à rejeter cette hypothèse avec un certain risque d’une conclusion erronée, lorsqu’elle est confrontée avec une autre hypothèse H₁, appelée hypothèse alternative, les deux hypothèses H₀ et H₁ étant mutuellement exclusives.

Accepter l’hypothèse H₀, sur la base de cette règle, ne veut pas dire qu’elle est exacte, mais simplement qu’on estime ne pas avoir de raisons suffisantes de lui préférer l’hypothèse H₁, compte tenu des informations fournies par l’échantillon, bien qu’il soit possible que ce soit cette dernière qui corresponde à la réalité. Il en résulte que deux risques d’erreurs sont toujours associés à la conclusion d’un test. Le risque de première espèce est la probabilité de rejeter l’hypothèse H₀ alors qu’elle est vraie (erreur de première espèce). La probabilité α d’une telle erreur définit le niveau de signification du test, que l’on se donne souvent a priori pour fixer la règle de décision. Le risque de seconde espèce est la probabilité β d’accepter l’hypothèse H₀ alors que c’est l’hypothèse alternative H₁ qui est vraie (erreur de seconde espèce). La puissance du test, P = 1 – β, est fonction de la valeur du ou des paramètres qui spécifient l’hypothèse alternative H₁, pour H₁ = H₀, on a évidemment 1 – β = α.

Réalisation d’un test

D’une manière générale, pour tester l’hypothèse H₀, on utilise une fonction des observations de l’échantillon, appelée statistique ou fonction discriminante, soit dont on connaît la loi de distribution lorsque l’hypothèse H₀ est vraie. La probabilité α étant fixée, on partage le domaine possible des variations de en deux régions mutuellement exclusives.

• La première (R), dite région ou intervalle de rejet de l’hypothèse H₀ (région critique), est telle que α soit la probabilité que la valeur de tombe dans cette région si H₀ est vraie.

• La seconde (A), dite région ou intervalle d’acceptation, est complémentaire de la précédente : 1 – α est la probabilité que la valeur de tombe dans cette région si H₀ est vraie.

Suivant que la valeur de , calculée à partir des observations de l’échantillon, tombe dans (A) ou (R), on accepte ou l’on rejette H₀.

Le test est bilatéral si l’intervalle de rejet relatif à un paramètre est constitué de deux parties situées en deçà et au-delà de l’intervalle d’acceptation et correspondant respectivement à des probabilités α₁ et α₂ (α₁ + α₂ = α).

Le test est centré si

Le test est unilatéral si α correspond à un intervalle unique de rejet, situé à l’une ou à l’autre des extrémités du domaine possible des variations de .

Dans certains cas, on utilise un test progressif dans lequel chaque nouvelle observation peut conduire soit à une décision d’acceptation ou de rejet, soit à la décision de continuer l’épreuve.

La réalisation d’un test comprend les opérations suivantes :
1^o définir l’hypothèse à tester et l’hypothèse alternative, compte tenu des éléments connus ou considérés a priori comme pratiquement valables ;
2^o fixer le niveau de signification du test ;
3^o définir les conditions de l’épreuve ;
4^o définir la fonction des observations et la règle de décision à utiliser.

Exemple. Étant donné une variable X, dont on admet a priori qu’elle est normalement distribuée avec une variance connue σ², on se propose de tester l’hypothèse d’une moyenne m égale à une valeur donnée m₀ avec un risque α = 0,05, par exemple, de refuser cette hypothèse si elle est exacte.