symétrie (suite)
Symétries du cube
Une figure admet un axe de répétition d’ordre n si elle est globalement invariante dans une rotation d’angle autour de cet axe.
Il en est ainsi, par exemple, de tout polygone régulier de n côtés, invariant dans toute rotation dont l’axe est la perpendiculaire au plan du polygone, en son centre, et dont l’angle est un multiple de Un axe d’ordre deux, ou binaire, est un axe de symétrie. Un axe est ternaire, quaternaire, sénaire s’il correspond à
• Le cube a un centre de symétrie, qui est le point de rencontre des diagonales.
• Le cube a trois axes de répétition quaternaires, puisqu’il est de trois façons différentes un prisme droit dont la base est un carré (un axe est OO′). Ces axes sont deux à deux perpendiculaires.
• Le cube a quatre axes ternaires, qui sont les diagonales (telle BD′), le cube étant invariant par une rotation de autour de chacune d’elles (pour BD′, les triangles AB′C et BA′C′ sont équilatéraux et d’axe BD′).
• Le cube a six axes binaires, obtenus en joignant les milieux de deux arêtes opposées, tel A″C″. En effet, (C, C′), (A, A′), (B′, D′), (D, B′) sont quatre couples de points symétriques par rapport à A″C″, qui est donc axe de symétrie du cube.
• Le cube a trois plans de symétrie, perpendiculaires aux axes quaternaires (aux couples de faces) et passant par le centre.
• Le cube a six plans de symétrie, perpendiculaires aux axes binaires déterminés par les six couples d’arêtes opposées ; ils passent par le centre.
Ces éléments de symétrie sont aussi ceux de l’octaèdre régulier que l’on obtient en joignant deux à deux les centres de deux faces consécutives quelconques du cube, puisque, chaque fois que le cube se retrouve en coïncidence avec lui-même, il en est de même de l’octaèdre.
E. S.
➙ Application / Espace euclidien de dimension trois / Géométrie.
R. Deltheil et D. Caire, Géométrie. Transformations coniques (Baillière, 1939 ; 2e éd., 1945) ; Compléments de géométrie, géométrie métrique, géométrie projective, géométrie anallagmatique (Baillière, 1951). / D. Hilbert et S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination (New York, 1952). / J. Lelong-Ferrand et J. M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, t. I : Algèbre (Dunod, 1971).