Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
S

série numérique (suite)

Exemples de détermination de rayons de convergence.
1.  quand n → + ∞, R = + ∞ ; la série converge pour tout z ∈ ℂ.
2. 
3.  pour z ≠ 0 ; la série ne converge que pour z = 0.


Fonctions développables en série entière

Une fonction f (z) de la variable complexe z est développable en série entière dans un voisinage V de l’origine s’il existe une suite (an) de nombres complexes telle que, pour tout z ∈ V, on ait :

on note
Les coefficients de cette série sont les coefficients de la série de Taylor de la fonction f :

On peut calculer des développements en séries entières en intégrant, terme à terme, des développements en séries entières connus, le rayon de convergence d’une série entière et de la série intégrée terme à terme étant le même. Ainsi, pour |z| < 1,

Comme la dérivée de Log (1 + z) est on en déduit le développement en série de Log (1 + z)

pour |z| < 1.

Si, pour |z| < R, la fonction f admet, au voisinage de l’origine, un développement limité donné par

0 (zn) désignant une fonction de z tendant vers zéro avec z.

E. S.


Deux grands noms de la théorie des séries


Joseph Fourier

(Auxerre 1768 - Paris 1830). Orphelin de très bonne heure, il fait ses premières études à l’école militaire d’Auxerre. Élève de l’École normale de l’an III, il est, à la fondation de l’École polytechnique, l’un des premiers membres du corps enseignant, professant l’analyse et la mécanique. Nommé secrétaire perpétuel de l’Institut d’Égypte, il est, a son retour en France, préfet de l’Isère (1802) et reçoit le titre de baron. Entre en 1817 à l’Académie des sciences, il en devient en 1822 le secrétaire perpétuel pour les sciences mathématiques. En 1826, il est élu à l’Académie française, et les dernières années de sa vie sont entièrement consacrées à la science et a ses devoirs d’académicien. Fourier est le premier physico-mathématicien. Ses études sur la propagation de la chaleur, entreprises avant 1807, l’amenèrent à étudier les séries trigonométriques qui portent son nom et qui ont joue un rôle considérable dans le développement des mathématiques modernes, en particulier dans la constitution de la théorie des ensembles. En algèbre, il précisa en 1796, puis de nouveau en 1820, la règle de Descartes relative au nombre des racines positives d’une équation. Son propre résultat fut amélioré en 1829 par Charles Sturm (1803-1855).


Colin Maclaurin

(Kilmodan, Argyllshire, 1698 - Édimbourg 1746). Étudiant à l’université de Glasgow, il enseigne à dix-neuf ans les mathématiques à Aberdeen, puis à Édimbourg. Disciple de Newton, il a étudié la description organique des courbes et leurs propriétés (1719). Son Traité des fluxions (1742) contient notamment la formule du développement en série entière d’une fonction qui porte son nom. Elle est intimement liée à la série de Taylor, trouvée en 1715 par le mathématicien anglais Brook Taylor (1685-1731).

J. I.

sérielle (musique)

Au sens large, musique qui organise un ou plusieurs paramètres du son (hauteurs, durées, intensités, timbres) dans un certain ordre temporel ou spatial, à l’exclusion de toute hiérarchisation, les divers éléments d’un même paramètre n’ayant de rapports qu’entre eux, et non pas seulement avec l’un ou l’autre élément privilégié. Au sens restrictif, on a avant tout appelé musique sérielle la musique issue du principe dodécaphonique élaboré par Schönberg* et qui concerne un seul paramètre, celui des hauteurs, à l’intérieur d’une seule échelle, celle des douze demi-tons chromatiques de la gamme tempérée. Ce cas particulier va nous permettre de clarifier les notions exposées ci-dessus.


Au début du xxe s., rongé par la corrosion du chromatisme poussé à l’extrême dans le Tristan de Wagner et la musique qui en est directement issue, le système tonal classique, établi et codifié depuis Bach et Rameau, s’effondre après deux siècles de prééminence absolue sur la musique occidentale de tradition écrite. L’évolution de Schönberg témoigne plus clairement que toute autre de ce processus de dissolution, car, parmi les compositeurs de son temps, il est celui qui a saisi et vécu le problème avec la lucidité et la cohérence les plus grandes. Pour cela, il fallait non point un tempérament révolutionnaire (comme Debussy ou Stravinski), mais un esprit strictement évolutionnaire et attaché à la tradition, comme l’était précisément celui qui se définissait lui-même comme « un conservateur que l’on a obligé à devenir un radical ». Seul un Schönberg, dont le Traité d’harmonie de 1911 fait le bilan terminal de deux siècles d’harmonie tonale et répond ainsi au traité de Rameau de 1722, pouvait tirer les conséquences logiques de la mort du système tonal. Par étapes successives étonnamment rapides, il arriva dès 1907 à écrire une musique totalement affranchie des liens de la tonalité. Mais il éprouva rapidement la nécessité d’une nouvelle discipline, capable de faire lace aux problèmes de syntaxe et de forme créés par la disparition de la tonalité. Au terme de quinze ans de recherches, et aussi d’enivrante mais dangereuse liberté, il mit au point un système d’écriture qui, croyait-il, allait assurer pendant un siècle au moins la suprématie de la musique allemande. C’était ne pas tenir compte de l’accélération de l’histoire, et ce système, dans sa forme stricte, n’a survécu que de peu d’années à son inventeur. Il s’agit d’une « méthode de composition avec douze sons n’ayant de rapports qu’entre eux », méthode généralement connue sous le nom de dodécaphonisme* et dont les premiers exemples, sous la plume de Schönberg, se trouvent dans ses opus 23 (Cinq Pièces pour piano), 24 (Sérénade) et 25 (Suite pour piano), élaborés de front entre 1921 et 1923. Le principe de cette méthode consiste à choisir préalablement à la composition proprement dite un ordre des douze sons de la gamme chromatique, chaque son ne pouvant être réentendu qu’après l’audition des onze autres. Ce principe de la non-répétition (qui admet cependant celle d’un même son avant de passer au suivant, considérée alors comme monnayage rythmique) est essentiel afin d’éviter la polarisation sur un ou plusieurs sons « privilégiés », qui créerait une hiérarchisation et donc des centres d’attraction tonale. Cette crainte illustre bien la puissance magnétique que conservait la tonalité dans le subconscient auditif, surtout chez un traditionaliste comme Schönberg. Elle se manifeste encore dans le refus systématique des intervalles consonants, dans l’interdiction du redoublement d’octave, principes très strictement appliqués dans la phase « classique » du dodécaphonisme par Schönberg et ses disciples, mais envisagés plus tard avec beaucoup moins de rigueur, même par Schönberg lui-même, une fois surmonté le « complexe tonal ».