exemple
Dans une congruence arithmétique, on choisit p = 5 : x ℛ y ⇔ x – y = 5 k, dans ℤ. On trouve cinq classes d’équivalence, qui sont les classes des éléments 0, 1, 2, 3, 4. Elles correspondent de façon biunivoque au reste de la division d’un nombre par cinq. L’ensemble quotient, noté ici ℤ/_5ℤ, peut être doté d’une addition et d’une multiplication induites des opérations de ℤ et qui confèrent à ℤ/_5ℤ une structure de corps. Cet exemple montre l’intérêt des relations d’équivalence.

Relations d’ordre dans un ensemble E

Une relation d’ordre au sens strict est une relation binaire antisymétrique et transitive : dans ℝ, la relation <, « strictement inférieure à », est une relation d’ordre strict.

Une relation d’ordre au sens large est une relation binaire réflexive, antisymétrique et transitive : dans ℝ, la relation « inférieur ou égal à », est une relation d’ordre large.

Un ordre strict est donc un ordre qui ne permet pas la comparaison d’un élément avec lui-même. Un tel ordre paraît normal dans la vie courante. En effet, il semble dérisoire de dire que x est meilleur que lui-même. Cependant, les mathématiques utilisent de préférence les relations d’ordre réflexives, car elles permettent un vocabulaire plus adéquat et rendent certaines propriétés ou démonstrations plus souples.

Vocabulaire des ensembles ordonnés

Un ordre est total dans un ensemble E si deux éléments quelconques de cet ensemble sont comparables. Dans le cas contraire, l’ordre est dit partiel. Dans ℕ, la relation « divise » est une relation d’ordre partiel.

Si ℛ définit un ordre sur l’ensemble E, la relation ℛ′, réciproque de ℛ, définit sur cet ensemble l’ordre dual.

Dans l’ensemble E, la relation ℛ s’énonçant « inférieur ou égal à » (dualement « supérieur ou égal »), x est un minorant de y si et seulement si x ℛ y (dualement majorant).

L’élément a de l’ensemble E est minorant universel (dualement majorant) si l’élément a est inférieur ou égal (dualement supérieur ou égal) à tous les éléments de l’ensemble E.

On dit que y succède à x (ou couvre x) si y est un majorant de x, distinct de x et tel qu’il n’existe aucun élément de l’ensemble E vérifiant la double inégalité t ≠ x et t ≠ y. On dit aussi que y est le suivant de x ou est consécutif à x. La notion duale est celle de prédécesseur. Si A est une partie d’un ensemble ordonné E muni d’un ordre réflexif, l’élément a appartenant à A est dit maximal (respectivement minimal) s’il n’a aucun majorant dans A (respectivement minorant) en dehors de lui-même. Ainsi, l’ensemble {2, 3, 6, 9, 12, 18}, sous-ensemble de ℕ, muni de la relation de divisibilité, possède deux éléments maximaux, 12 et 18, puis deux éléments minimaux, 3 et 2.

Un élément a d’une partie A d’un ensemble ordonné E est dit maximum (dualement minimum), s’il majore (dualement minore) tous les éléments de la partie A. En particulier, si l’ensemble E possède un majorant universel (dualement minorant), cet élément est maximum (dualement minimum) dans l’ensemble E. La partie A = {2, 3, 6, 9, 12, 18} n’a ni élément maximum, ni élément minimum. La partie B = {2, 3, 6, 9, 18} a un élément maximum, 18, mais n’a pas d’élément minimum. La partie C = {2, 6, 18} a un élément minimum, 2, et un élément maximum, 18.

Enfin, un ordre total est dit bon sur un ensemble E si toute partie de cet ensemble, y compris E, possède un élément minimum. L’ensemble est alors dit bien ordonné.

L’étude des ensembles ordonnés est extrêmement féconde et conduit à étudier des ensembles ordonnés particuliers, les treillis, dont les applications sont particulièrement nombreuses.

E. S.

➙ Anneau / Application / Ensemble / Graphes (théorie des) / Groupe / ℕ / ℝ / ℤ.

 P. Dubreil, Algèbre, t. I : Équivalences, opérations, groupes, anneaux et corps (Gauthier-Villars, 1946 ; 3^e éd., 1963). / P. Dubreil et M. L. Dubreil-Jacotin, Leçons d’algèbre moderne (Dunod, 1961 ; 2^e éd., 1964). / M. Barbut, Mathématiques des sciences humaines, t. I : Combinatoire et algèbre (P. U. F., 1967). / G. Casanova, l’Algèbre de Boole (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1967 ; 3^e éd., 1972). / A. Kaufmann, Des points et des flèches, la théorie des graphes (Dunod, 1968 ; nouv. éd., 1970). / M. Barbut et B. Monjardet, Ordre et classification, algèbre et combinatoire (Hachette, 1970). / A. Bouvier, la Théorie des ensembles (P. U. F., coll. « Que sais-je ? », 1970 ; 3^e éd., 1972).