Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
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relation binaire (suite)

La relation inverse ou réciproque de la relation ℛ de l’ensemble E vers l’ensemble F est la relation, notée ℛ–1 telle que y ℛ–1 x ⇔ x ℛ y. Par exemple, si, dans E = F = ℕ, ℛ désigne la relation « divise », la relation inverse est « est multiple de ». En effet, x divise y si et seulement si y est multiple de x. Il est clair que (ℛ–1)–1 = ℛ.

Deux relations sont égales si elles sont vérifiées par les mêmes couples, c’est-à-dire si elles ont même graphe.

La relation ℛ est incluse dans la relation ℛ′, ou ℛ implique ℛ′ (ℛ ⇒ ℛ′) si le graphe de ℛ est inclus dans celui de ℛ′ : tout couple (xy) vérifiant la relation ℛ vérifie aussi la relation ℛ′. On dit aussi que la relation ℛ est plus fine que la relation ℛ′.

Si ℛ1 et ℛ2 sont deux relations de l’ensemble E vers l’ensemble F, l’intersection de ℛ1 et de ℛ2 est la relation telle que et x ℛ2 y. Le graphe de l’intersection est l’intersection des graphes de ℛ1 et de ℛ2.

De même, on définit la réunion de ℛ1 etℛ2, telle que ou x ℛ2 y. Il suffit que x et y soient en relation par l’une des deux relations ℛ1 ou ℛ2 pour que x soit en relation avec y par la relation .

Toutes ces opérations sur les relations ne sont que des transcriptions des opérations dans un ensemble.

Si, dans trois ensembles E, F et H, ℛ est une relation de l’ensemble E vers l’ensemble F et une relation de F vers H, la relation-produit, ou relation composée, de ℛ par , notée est définie comme la relation de E vers H telle que x ∈ E, z ∈ H, si et seulement s’il existe y ∈ F tel que x ℛ y et Si K est un quatrième ensemble et une relation de H vers K, le produit des relations ℛ, et est associatif, c’est-à-dire que l’on a


Propriétés éventuelles d’une relation binaire dans un ensemble E

Une relation binaire ℛ dans un ensemble E est :
— réflexive si x ℛ x pour tout élément x de l’ensemble E ;
— symétrique si x ℛ y entraîne y ℛ x ;
— antiréflexive si pour tout élément x de l’ensemble E, indiquant la négation de la relation ℛ ;
— antisymétrique ou propre si x ℛ y et y ℛ x entraînent x = y (sous une autre forme, si x ≠ y et x ℛ y, ) ;
— transitive si x ℛ y et y ℛ z entraînent x ℛ z ;
— totale si entraîne y ℛ x [quel que soit le couple (xy), on a au moins l’une des deux relations x ℛ y ou y ℛ x] ;
— circulaire si x ℛ y et y ℛ z entraînent z ℛ x.

exemples
1. Dans l’ensemble ℕ, la relation « divise » est réflexive, antisymétrique et transitive.
En effet, quel que soit l’élément x appartenant à l’ensemble ℕ, x divise x. D’autre part, si x|y, y = xx′, x′ ∈ ℕ et si y|x, yy′ = x, y′ ∈ ℕ, il en résulte que y = yyx. D’où, puisque tous les nombres utilisés appartiennent à l’ensemble ℕ, yx′ = 1 et, pour la même raison, y′ = x′ = 1 et y = x.
Enfin, si x|y et y|z, y = xx′ et z = yy′ ; d’où z = xxy′ = xx″, ce qui en traîne x|z.
2. Dans l’ensemble R, la relation « strictement inférieur à » est antisymétrique et transitive.
En effet, si x < y, on n’a pas y < x. De plus, x < y et y < z entraînent x < z.
3. Dans l’ensemble ℝ, la relation « inférieur ou égal à » est réflexive, antisymétrique, transitive et totale.
En effet, pour tout élément x de l’ensemble ℝ, on a puisque x = x. Si et on a Si et on a x = y. Enfin, étant donnés deux nombres réels quelconques x et y, on peut toujours les comparer en utilisant la relation , car ou bien x = y ou bien x ≠ y, et alors x < y ou y < x.


Relations d’équivalence dans un ensemble E

Une relation d’équivalence est une relation binaire dans un ensemble E, réflexive, symétrique, transitive.

exemple
Dans l’ensemble ℤ des entiers relatifs, la relation ℛ définie par
x ℛ y ⇔ Ǝ k ∈ ℤ : x – y = kp
(p étant un entier naturel donné) est une relation d’équivalence.

En effet, x ℛ x, car x – x = o = op. De plus, x ℛ y ⇔ x – y = kpy – x = (– k)p = kp, k′ = – k ; d’ou y ℛ x. Enfin, si x ℛ y et y ℛ z, c’est-à-dire si x – y = kp et y – z = kp, en ajoutant ces deux égalités membre à membre, on obtient x – z = (k + k′) = kp ; donc x ℛ z.

Cette relation est appelée congruence arithmétique modulo p. Elle est susceptible d’applications en arithmétique.


Classes d’équivalence

Dans un ensemble E muni d’une relation d’équivalence ℛ, la classe d’équivalence de l’élément a de l’ensemble E est formée des éléments x de l’ensemble E qui sont en relation avec a : A = {x ∈ E, x ℛ a}. Il est équivalent d’écrire x ℛ a ou a ℛ x, puisque la relation ℛ est symétrique. Comme, de plus, la relation ℛ est transitive, la classe A est aussi celle de n’importe lequel de ses éléments, et tous les éléments de la classe A sont en relation deux à deux. Si b est un élément de l’ensemble E n’appartenant pas à A, la classe B de l’élément b est distincte de celle de l’élément a, et l’on a : A ∩ B = Ø. Il est impossible que deux classes distinctes aient un élément commun, sinon elles seraient confondues. La relation ℛ détermine donc une partition de l’ensemble E, c’est-à-dire un partage de l’ensemble E en classes d’équivalence, non vides, deux à deux disjointes et dont la réunion est égale à l’ensemble E.

La notion de classe d’équivalence est très importante en raison de la partition réalisée par les classes. L’ensemble, noté E/ℛ, appelé ensemble quotient de E par ℛ est constitué par les classes d’équivalence, qui sont des parties de l’ensemble E, mais qui deviennent les éléments de E/ℛ. Grâce à des relations d’équivalence, on peut obtenir de nouveaux ensembles. Cette méthode est féconde, notamment en théorie des groupes et aboutit à des résultats très appréciés.