Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
R

régression (suite)

La méthode des moindres carrés utilisée pour déterminer les droites de régression implique, pour chacune d’elles, que la somme des carrés des distances de tous les points Mi à ces droites, mesurées parallèlement aux axes de coordonnées, est minimale : la droite de régression de Y en X, par exemple, est telle que l’expression

soit minimale. Le carré du coefficient de corrélation linéaire entre X et Y, appelé coefficient de détermination, mesure la fraction de la variance totale de l’une des variables Y (ou X), expliquée par l’autre variable X (ou Y), lorsqu’elle est exprimée en fonction de cette dernière par une équation de régression linéaire.

Si l’on considère l’estimation d’une variable Y en fonction de plusieurs variables (X1, X2, ..., Xn), l’hypothèse d’une régression linéaire multiple conduit encore à rechercher, par la méthode des moindres carrés, une équation de régression de la forme y (x1, x2, ...) = a + b1x1 + b2x2 + ∙∙∙ + bnxn, les coefficients de régression partielle b1, b2, ... caractérisant respectivement l’influence des variations de chaque variable Xi sur la variable Y. L’équation précédente définit un plan dans l’espace à n + 1 dimensions, ce plan de régression de Y en (X1, ..., Xn) étant tel que la somme des carrés des distances des points-observations à ce plan, mesurées parallèlement à l’axe des Y, soit minimale.

Le coefficient de corrélation multiple ou son carré, le coefficient de détermination multiple,

mesure l’étroitesse de la liaison entre les valeurs observées de la variable Y et les valeurs correspondantes estimées par l’équation de régression. Le terme régression curviligne désigne l’ajustement des valeurs observées de Y en fonction d’une ou plusieurs variables à l’aide d’une fonction non linéaire de ces variables.

En statistique théorique, pour deux variables X, Y dont la loi de densité de probabilité du couple (xy) est donnée, la courbe de régression de Y en x est le lieu des points de coordonnées [x, E (Y|x)], E (Y|x) étant l’espérance mathématique (ou valeur moyenne) de Y dans la distribution conditionnelle de Y pour une valeur particulière X = x. On définit de même la courbe de régression de X en y. Dans le cas d’une loi à un nombre quelconque n de variables, on définirait de manière analogue n + 1 surfaces de régression.

L’importance de la régression linéaire tient au fait que, dans une distribution normale à deux variables (cas fréquent, au moins approximativement), les courbes de régression sont les deux droites d’équations

les paramètres mx, my, σx, σy étant respectivement les moyennes et les écarts types des distributions marginales de X et Y, et ρ le coefficient de corrélation de ces deux variables. De même, dans une distribution normale à n variables, les n surfaces de régression sont des plans.

E. M.

➙ Ajustement statistique / Corrélation / Distribution statistique.

 G. Calot, Cours de statistique descriptive (Dunod, 1964).

régulation

Réaction organique tendant à restreindre ou à empêcher la modification de l’une des constantes physiques ou chimiques d’un être vivant.


Claude Bernard* a, le premier, attiré l’attention des physiologistes sur l’impérative nécessité de la stabilité de l’environnement cellulaire (milieu intérieur). Une telle constance du milieu intérieur implique l’existence de mécanismes d’autorégulation, hautement complexes, susceptibles de compenser toute variation introduite tant par des modifications du milieu extérieur (température, apport de nutriments...) que par des troubles fonctionnels ou des modifications de niveau d’activité des organes. Walter Bradford Camion, vers 1920, a proposé le terme d’homéostasie pour définir la fonction physiologique (ensemble des mécanismes mis en jeu) dont le rôle est de maintenir constant le milieu intérieur. La notion d’autorégulation n’est pas limitée au seul environnement cellulaire ; on la retrouve lors de l’analyse des mécanismes intervenant dans la motricité (marche, préhension d’un objet...) ou dans l’expression génétique (régulation de la synthèse des protéines).


Principes de l’autorégulation

Dès le moment où la construction de machines a été entreprise, le besoin de leur adjoindre des systèmes de contrôle s’est fait sentir : le régulateur à boule de Watt en est l’exemple traditionnel. La généralisation de l’utilisation de tels systèmes et leur complexité croissante ont conduit à s’intéresser aux aspects théoriques de l’autorégulation. Ces recherches, indépendamment de leur intérêt sur le plan technologique, ont eu des répercussions non négligeables en physiologie, en fournissant de nouvelles méthodes d’analyse des régulations.


Notion d’action en retour

La figure 1 A illustre un système simple d’autorégulation : le maintien à un niveau constant (prédéterminé) de l’eau contenue dans un réservoir, quelle que soit l’intensité de l’utilisation. Considérons uniquement les deux éléments asservis (débit d’arrivée et niveau d’eau), l’utilisation jouant le rôle d’un facteur extérieur au système. Il existe, entre le débit d’arrivée et le niveau, une relation de cause à effet. Mais, dans un tel système, l’effet réagit sur la cause (fig. 1 B) : une diminution du niveau entraîne une augmentation du débit d’arrivée et, inversement, une élévation du niveau produit une réduction du débit. Le signe négatif porté sur la figure 1 B symbolise le fait que l’effet s’oppose à la cause ; cette « action en retour », ou « rétroaction » négative (negative feed-back des Anglo-Saxons), constitue le principe fondamental de toute autorégulation.

On peut concevoir une action en retour positive où l’effet stimule la cause (fig. 2 A et B). Compte tenu du nouveau mode de liaison entre le flotteur et la vanne d’arrivée, il est clair que la moindre variation à partir du point d’équilibre entraîne une évolution irréversible, de type explosif : plus le niveau baisse, plus le débit d’arrivée est réduit, ce qui aggrave la diminution du niveau d’eau. Bien que les mécanismes physiologiques relèvent presque tous de l’homéostasie et impliquent une action en retour négative, il existe quelques rares exemples de rétroaction positive.
1. Chez les larves de Batraciens, la concentration plasmatique de thyroxine, initialement très faible, s’élève brusquement au cours de la métamorphose par suite d’une action positive (stimulation) de l’hormone thyroïdienne sur l’hypothalamus ; la sécrétion accrue de T. R. F. (thyrotrophin releasing factor) entraîne une augmentation de la sécrétion de thyréostimuline hypophysaire, d’où une augmentation de la production de thyroxine ;
2. Au cours du cycle œstrien (chez la femme par exemple), les œstrogènes (hormones ovariennes) favorisent la libération par l’hypophyse de l’hormone lutéinisante, qui accroît la production d’œstrogènes.