Les géodésiens ont également adopté pour la quasi-totalité des calculs les représentations conformes, parfois à grand champ pour des triangulations* de grande étendue. Ces calculs pourraient être exécutés sur l’ellipsoïde*, mais, nonobstant les réductions nécessaires, les calculs dans le plan sont plus aisés, et, de toute façon, les résultats doivent être fournis aux utilisateurs, pour tous les besoins de la topométrie, sous forme de coordonnées cartésiennes.

Dans les divers domaines de la cartographie, le choix d’une représentation dépend du but poursuivi : il existe différents types de représentation particulièrement adaptés aux besoins de la navigation ou spécialement étudiés dans ce but ; les représentations équidistantes sont employées fréquemment pour les télécommunications ou la séismologie. Les représentations équivalentes présentent un grand intérêt chaque fois qu’il s’agit d’exprimer sur une carte un phénomène en rapport avec les surfaces. Une représentation méricylindrique convient s’il s’agit de représenter, notamment pour l’ensemble de la surface terrestre, des données fonctions de la latitude.

Les représentations planes de la sphère sont utilisées pour les cartes à très petite échelle, les cartes d’atlas, les cartes générales du monde, qu’on désigne par mappemondes s’il s’agit de représentations séparées de deux demi-sphères et par planisphères s’il s’agit d’une représentation d’un seul tenant.

Principales représentations planes

• Représentations par « double projection ». Pour déterminer une représentation plane, en particulier transverse ou oblique, de l’ellipsoïde, il est commode de procéder en deux étapes : représentation conforme de l’ellipsoïde sur une sphère, puis représentation conforme de la sphère sur un plan. Cette dernière peut être une représentation cylindrique transverse (Gauss-Krüger), une projection stéréographique oblique (carte des Pays-Bas) ou une représentation conique oblique (Tchécoslovaquie).

• Représentations conformes et fonctions analytiques. Moyennant l’introduction sur le modèle, à la place des coordonnées géographiques λ et φ, de coordonnées dites « symétriques » λ et £, une quelconque représentation conforme peut être définie par une relation de la forme Z = f (z), où Z et z sont les variables complexes Z = X + i Y, z = λ + i£, et f une fonction analytique. Sur la sphère, la variable est dite « latitude croissante » ou « variable de Mercator ». Sur l’ellipsoïde la variable £, dite « latitude isométrique », dépend de l’excentricité. Ainsi, la représentation cylindrique directe tangente (Mercator) est définie par Z = z ; les représentations coniques sont données par Z = exp (n i z) ; la projection stéréographique de la sphère est obtenue par Z = exp (i z).

La représentation UTM (Universal Transverse Mercator) est une représentation conforme transverse qui fait correspondre, sans intermédiaire, les points du plan à ceux de l’ellipsoïde. On ne peut en donner d’autre définition correcte que par une relation Z = f (z) : la fonction f est déterminée en imposant qu’un méridien soit automécoïque et ait une image rectiligne ; cette condition permet de déterminer les dérivés successives de f, puis son développement en série entière, à partir duquel on obtient les coordonnées planes X et Y. L’avantage de cette représentation, calculée aux États-Unis pour des fuseaux d’amplitude 6°, réside dans le fait qu’il suffit d’effectuer les calculs pour un seul fuseau, ce qui justifie l’épithète universel et explique le développement croissant de son utilisation dans le monde entier.

• Représentations diverses. De nombreuses solutions ont été proposées par les cartographes, la plupart du temps pour tenter de minimiser les inévitables déformations, en particulier pour les représentations de l’ensemble de la surface terrestre (Wagner, Goode, Bartholomew, Brisemeister ; représentations étoilées de Petermann). Ces représentations, étudiées le plus souvent dans un but essentiellement esthétique, conduisent à des documents en général purement descriptifs, impropres à résoudre un quelconque problème scientifique, même élémentaire.

Représentations planes et navigation

On distingue deux types de navigation, la navigation loxodromique (ou à cap constant) et la navigation orthodromique. Une loxodromie est une courbe coupant tous les méridiens sous le même angle ; une orthodromie est le plus court chemin d’un point à un autre : c’est par exemple une ligne géodésique sur l’ellipsoïde ou un arc de grand cercle sur la sphère. La navigation orthodromique est préférée pour des raisons d’économie.

Les images des orthodromies ne sont des courbes simples que dans les projections stéréographiques (les images sont des cercles) ou gnomoniques (les images sont des droites) [fig. 7].

Dans la représentation de Mercator directe, l’image d’une loxodromie est une droite, puisque les angles sont conservés et que les images des méridiens sont des droites parallèles. Les images des orthodromies sont des courbes présentant un point d’inflexion sur l’équateur. Les images des orthodromies (fig. 8) issues d’un point de l’équateur se déduisent par simple translation, le long de la droite image de l’équateur, des images des orthodromies issues d’un point origine, préalablement tracées sur un calque (abaques de Favé).

J. C.

➙ Cartographie / Géodésie.

 L. Driencourt et J. Laborde, Traité des projections des cartes géographiques (Hermann, 1933 ; 4 vol.). / F. Reignier, les Systèmes de projection et leurs applications à la géographie, à la cartographie, à la navigation, à la topométrie (secrétariat d’État aux Transports et au Tourisme, 1958 ; 2 vol.). / J. J. Levallois, Géodésie générale, t. II (Eyrolles, 1970). / G. Gambier, Notions sur les représentations planes de la Terre (IGN, 1972).