Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
A

arithmétique (suite)

Répartition asymptotique des nombres premiers

Si le théorème de Fermat a orienté la théorie des nombres vers des extensions de la notion de nombre entier et a enrichi l’algèbre théorique, d’autres problèmes l’infléchiront vers la théorie des fonctions, principalement des fonctions analytiques. Tel est le cas du problème de la partition des nombres, soulevé par Euler, justiciable de l’emploi des séries entières, mais surtout la répartition asymptotique des nombres premiers.

Le Gendre pensait avoir établi que dans toute progression arithmétique ax + ba et b sont premiers entre eux il se trouve une infinité de nombres premiers. C’est Lejeune-Dirichlet qui le démontra en utilisant des méthodes analytiques (1837). De nos jours, on possède des démonstrations dites élémentaires, en ce qu’elles sont indépendantes de la théorie des fonctions (travaux d’Atle Selberg, de Paul Erdös, etc.). Pour les besoins de la théorie des substitutions, Joseph Bertrand (1822-1900) énonçait, en 1845, que, pour tout entier n supérieur à 6, il existe au moins un nombre premier compris entre n/2 et n – 2. Pafnouti Lvovitch Tchebychev (1821-1894) démontra ce postulat en 1854. Depuis, on a montré (R. Breusch, 1931) qu’il existe un nombre premier entre x et dès que x dépasse 48 ou entre x3 et (x + 1)3 pour x assez grand (Albert Edward Ingham, 1932).

Ce sont les idées directrices données en 1859 par Bernhard Riemann (1826-1866) qui permirent à Jacques Hadamard (1865-1963) et à Charles de la Vallée-Poussin (1866-1962) d’établir, en 1896, que le nombre des premiers au plus égaux à x est asymptotiquement x : Log x. A. Selberg et P. Erdös ont pu donner en 1948 une démonstration directe de cette proposition par la seule utilisation d’inégalités arithmétiques.


Deux problèmes célèbres de la théorie des nombres

1. En 1742, Christian Goldbach (1690-1764), ami d’Euler, proposait à celui-ci la question suivante : tout nombre pair est-il la somme de deux nombres premiers ? En admettant pour vraie une hypothèse sur la fonction ζ, Godfrey Harold Hardy (1877-1947) et John Littlewood (1885-1957) ont pu montrer, en 1923, que la propriété est vraie pour presque tous les nombres pairs. En 1937, Ivan Matveïevitch Vinogradov (né en 1891) démontrait le théorème pour des nombres pairs assez grands, indépendamment de toute hypothèse.

2. En 1770, Eduard Waring (1734-1798) déclarait que tout entier est la somme de 9 cubes au plus, de 19 quatrièmes puissances, etc. Le problème qui porte son nom demande donc le nombre minimal p, pour k donné, dans la décomposition d’un nombre en somme de p puissances k positives.

En 1908, Edmund Landau (1877-1938) établit que le nombre des entiers inférieurs à x sommes de deux carrés est asymptotiquement Cx : , où C est constante.

En 1859, Joseph Liouville (1809-1882) montrait que tout entier est la somme d’au plus 53 quatrièmes puissances, et, en 1909, A. Wieferich abaissait à 37 cette limite supérieure. David Hilbert (1862-1943) établissait l’existence de ce nombre limite pour tous les exposants entiers. À cet effet, il faisait usage d’une intégrale définie multiple. On a, depuis, établi cette proposition par des procédés purement élémentaires.


Qu’est-ce qu’un nombre entier ?

Les propriétés connues des nombres entiers sont donc de plus en plus nombreuses et de mieux en mieux démontrées. Surtout, les méthodes de recherche sont de plus en plus fines et efficaces, qu’elles fassent appel à l’algèbre, à l’analyse ou à des procédés directs. On ne peut que signaler encore les liens de la théorie des nombres et du calcul des probabilités.

Mais qu’est-ce qu’un nombre entier ? On s’est longtemps contenté d’en admettre intuitivement l’existence. Les exigences de l’axiomatique moderne ont conduit à des conceptions plus rigoureuses. Parmi les définitions proposées figurent les axiomes donnés en 1889 par Giuseppe Peano (1858-1932) :

• 1 est un entier ;

• Tout entier a un suivant bien défini dont il est l’antécédent ;

• 1 n’a pas d’antécédent ;

• Si deux nombres ont le même suivant, ils sont égaux ;

• Tout ensemble d’entiers qui contient 1 et le suivant de chacun de ses éléments contient tous les entiers.

Ces cinq axiomes caractérisent totalement l’ensemble ℕ des entiers naturels.

J. I.

➙ Archimède / Cauchy (A.) / Dedekind (R.) / Euclide / Euler (L.) / Fermat (P. de) / Galilée / Gauss (C. F.) / Hadamard (J.) / Hilbert (D.) / Lagrange (L. de) / Leibniz (G. W.) / Napier (J.) / Pascal (B.) / Riemann (B.) / Viète (F.).
Axiomatique / Calcul numérique / Cybernétique / Ensemble / Groupe / Informatique / / / .

 L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers (Washington, 1919). / T. L. Heath, A History of Greek Mathematics (Oxford, 1921 ; 2 vol.). / K. Menninger, Zahlwort und Ziffer (Breslau, 1934). / O. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity (Copenhague, 1951). / B. L. Van der Waerden, Science Awakening (Groningue, 1954). / A. Natucci, Sviluppo storico dell’aritmetica generale e dell’algebra (Naples, 1956). / R. Taton (sous la dir. de), Histoire générale des sciences (P. U. F., 1957-1964 ; 4 vol.). / K. Vogel, Vorgriechische Mathematik (Hanovre, 1958-1959 ; 2 vol.). / P. Dedron et J. Itard, Mathématique et mathématiciens (Magnard, 1960). / J. Itard, les Livres arithmétiques d’Euclide (Hermann, 1962). / C. J. Scriba, The Concept of Number (Mannheim, 1968).


Quelques grands arithméticiens


Diophante,

mathématicien grec de l’école d’Alexandrie, qui a probablement vécu vers 250. Il n’est connu que par ses Arithmétiques en treize livres, dont seuls les six premiers nous sont parvenus. Cet ouvrage traite principalement des équations indéterminées dans l’ensemble des nombres rationnels positifs. L’influence qu’il a exercée sur les algébristes occidentaux à partir de Raffaele Bombelli est considérable.


Adrien Marie Le Gendre,