Grande Encyclopédie Larousse 1971-1976Éd. 1971-1976
A

arithmétique (suite)

Le xviie siècle. Bachet et Fermat

Bachet édita et commenta le Diophante en 1621. Il vérifia pour les premiers entiers l’exactitude du fait que chacun d’eux est la somme de quatre carrés au plus. D’autre part, dans ses Problèmes plaisans et délectables de 1624, il montra que, si a et b sont premiers entre eux, il existe x et y tels que ax + by = 1. Il établissait cette importante relation grâce à l’algorithme d’Euclide. Fermât, lisant Diophante dans l’édition de Bachet, alla beaucoup plus loin. Parmi ses découvertes importantes figurent :

• son théorème : pour tout nombre premier p et tout entier a, ap – a est divisible par p ;

• son équation : l’égalité x2 = Ay2 + 1 a, pour tout A entier positif non carré parfait, une infinité de solutions dans l’ensembledes entiers relatifs ;

• ses nombres : , qu’il croyait tous premiers absolus ;

• son grand théorème, non encore complètement démontré : pour tout n entier supérieur à 2, l’égalité xn + yn = zn est impossible dans l’ensembledes entiers relatifs ;

• ses études sur les formes quadratiques les plus simples ;

• sa méthode de démonstration par descente infinie.

Ces diverses découvertes sont éparses dans ses lettres ou dans ses notes sur Diophante et ont été partiellement publiées par son fils en 1670 et 1679.


Euler et Lagrange

Le siècle, tourné vers les grandes découvertes de l’algèbre et de l’analyse, n’était pas favorable à la théorie des nombres. Dans ce domaine, les travaux de Fermat eurent bien peu d’échos, et ce dernier n’eut aucun successeur remarquable avant Euler. Celui-ci, qui ne connaît son devancier que par les éditions de son fils, démontre en 1736 le théorème de Fermat, qu’il généralise en 1760, en introduisant la célèbre fonction arithmétique appelée indicateur φ(n). C’est le nombre des entiers inférieurs à n et premiers avec lui. Par ailleurs, Euler infirme l’affirmation de Fermat sur la primarité de tous ses nombres en examinant le cas de n = 5. Il approche de très près la démonstration du théorème de Bachet, que Lagrange achèvera en 1770. Reprenant cette démonstration de Lagrange, il l’améliore en 1773. D’autre part, il inaugure l’étude des formes quadratiques ax2 + bxy + cy2 sur l’ensemble ℤ des entiers relatifs et prépare celle des congruences. S’attaquant au grand théorème de Fermat, il le démontre pour les exposants 3 et 4, et en reconnaît l’immense difficulté. On peut aussi le regarder comme le fondateur de la théorie analytique des nombres. Dans son Introductio in analysin infinitorum (1748) apparaissent en effet la fonction ζ (qui sera capitale au siècle suivant dans les recherches sur la répartition des nombres premiers) et même l’égalité asymptotique

(p premier absolu).

Lagrange développe l’étude des formes quadratiques. Il fait de l’algorithme des fractions continues un outil puissant de l’arithmétique et démontre les affirmations de Fermat, relatives à l’équation x2 = Ay2 + 1. En 1771, il démontre le théorème énoncé par John Wilson (1741-1793) : pour p premier, le nombre (p – 1)! + 1 est divisible par p. La théorie des résidus quadratiques provoque aussi des recherches d’Euler et de Lagrange, mais c’est la génération suivante qui les approfondira.


Le xixe siècle

Deux grands noms apparaissent immédiatement après Euler et Lagrange. L’œuvre d’Adrien Marie Le Gendre (1752-1833) débute en 1794 et aboutit à la Théorie des nombres (1830). Encore importante à consulter, elle est assise essentiellement sur la théorie des fractions continues. On doit citer parmi les résultats nouveaux obtenus par Le Gendre la loi de réciprocité des résidus quadratiques (1785). L’ouvrage fondamental de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Disquisitiones arithmeticae (1801), offre un net contraste avec celui de Le Gendre. C’est une œuvre de jeunesse, bel exemple de rigueur. Ici, l’arithmétique est bien la reine des mathématiques, et elle préside, avec l’algèbre pure, à la naissance de la mathématique abstraite du xxe s. C’est dans l’ouvrage de 1801 qu’apparaît la première étude complète des congruences. Cette extension de la notion d’égalité est le premier exemple des classes d’équivalence, qui jouent maintenant un rôle de premier plan dans toutes les parties des mathématiques. Si la loi de réciprocité des résidus quadratiques avait été mise en évidence par Le Gendre, c’est Gauss qui en donna six démonstrations rigoureuses, dont la première en 1796. Quant à la théorie des formes quadratiques, ébauchée par Euler, Lagrange en avait donné une méthode d’attaque très féconde, qui fut utilisée par Le Gendre et systématisée par Gauss. Cette théorie dominera d’ailleurs toute la théorie des nombres au cours du siècle.

Le grand théorème de Fermat préoccupait les arithméticiens depuis Euler. Les méthodes classiques, la descente infinie surtout, permettaient, de démontrer le cas de n = 5, résolu en 1825 par Le Gendre et Gustav Lejeune-Dirichlet (1805-1859), et celui de n = 7, résolu en 1840 par Gabriel Lamé (1795-1870) et Victor Lebesgue (1791-1875). Mais elles se révélaient de plus en plus pénibles et inefficaces. Or, déjà, Euler et Lagrange avaient utilisé, dans certaines de leurs recherches, des exlensions quadratiques de l’anneau ℤ des nombres entiers relatifs. En 1832, Gauss avait étudié l’anneau des nombres a + bi, où a et b sont des entiers. On entreprit alors de démontrer le grand théorème en utilisant divers anneaux de nombres complexes. Ces anneaux s’obtenaient en adjoignant à l’anneau ℤ des entiers relatifs une racine nième de l’unité. Mais une grosse difficulté apparaissait : en appelant premier tout élément de l’anneau qui ne serait divisible que par lui-même ou une unité, la décomposition d’un élément en ses facteurs premiers n’était pas unique. C’est ainsi que la première démonstration d’Ernst Eduard Kummer (1810-1893) et celles de Lamé, de Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) et du baron Augustin Cauchy (1789-1857), qui supposaient cette unicité, se révélèrent fallacieuses. Lejeune-Dirichlet ayant attiré l’attention de Kummer sur ce fait, ce dernier tourna la difficulté par l’introduction de ses nombres idéaux (1844). En 1849, il établissait ainsi le théorème de Fermat pour une classe importante de nombres. N’échappaient par exemple à la démonstration, parmi les exposants de la première centaine, que 37, 39 et 67. Mais, malgré les efforts des théoriciens du nombre, la démonstration générale du théorème n’est pas encore trouvée de nos jours. Il paraît bien établi d’ailleurs — mais ces choses-là ne se prouvent pas — qu’il n’en existe aucune démonstration élémentaire et que les nombreux amateurs qui s’y attaquent perdent leur temps et leurs efforts.

Cependant, les travaux de Kummer avaient ouvert un nouveau domaine de recherches, celui des corps algébriques. Par ailleurs, sa théorie des nombres idéaux, transformée en 1871 par Richard Dedekind (1831-1916) en celle des idéaux, s’est révélée sous cette forme un outil très puissant dans tous les domaines des mathématiques.